Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 136 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

136. (UF-MS) A partir de duas retas paralelas, com distância de 2 cm entre elas, são marcados, em cada uma, três pontos, tais que a distância entre 2 pontos consecutivos é de 3 cm.
Dentre todos os triângulos possíveis com vértices nos pontos dados, qual é a probabilidade de escolhermos ao acaso um triângulo de área medindo 3 cm²?
a)[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
c)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
d)[tex3]\frac{2}{5}[/tex3]
e)[tex3]\frac{3}{4}[/tex3]

Resposta

---

d)

[petrasMOD]

Temos duas retas, r e s, paralelas. Em cada uma, há 3 pontos separados por 3 cm.
Reta r: Pontos A1, A2, A3 (distância A1A2 = 3 cm e A2A3 = 3 cm. A1A3 = 6 cm).
Reta s: Pontos B1, B2, B3 (mesma lógica de distanciamento).
Altura (h): A distância entre as retas é de 2 cm.

Espaço Amostral (Total de Triângulos)Para formar um triângulo, precisamos escolher 3 pontos que não estejam na mesma linha.
Caso 1: 2 pontos na reta r e 1 ponto na reta s.
C(3,2).C(3,1) = 3.3 = 9.
Caso 2: 1 ponto na reta r e 2 pontos na reta s.
C(3,1).C(3,2) = 3.3 = 9.
Total de triângulos possíveis = 9 + 9 = 18

[tex3]A = \frac{base \times altura}{2}[/tex3]. Como a altura entre as retas é fixa em 2 cm teremos: [tex3]3 = \frac{base \times 2}{2} \implies 3 = base[/tex3]
Portanto, os triângulos com área de 3 cm² são aqueles cuja base mede exatamente 3 cm.
Na reta r: (A1, A2) e (A2, A3): 2 bases de 3cm.
Na reta s: (B1, B2) e (B2, B3): 2 bases de 3cm
Se a base de 3 cm estiver na reta r (2 opções), o terceiro vértice pode ser qualquer um dos 3 pontos na reta s: 2.3 = 6 triângulos.
Se a base de 3 cm estiver na reta s (2 opções), o terceiro vértice pode ser qualquer um dos 3 pontos na reta r: 2.3 = 6 triângulos.
Total de triângulos com área 3 cm² = 6 + 6 = 12

Portanto [tex3]P = \frac{12}{18} = \boxed{\frac{2}{3}_{//}}[/tex3]