Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 146 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

146. (Unifesp-SP) O recipiente da figura I é constituído de 10 compartimentos idênticos, adaptados em linha. O recipiente da figura II é constituído de 100 compartimentos do mesmo tipo, porém adaptados de modo a formar 10 linhas e 10 colunas. Imagine que vão ser depositadas, ao acaso, 4 bolas idênticas no recipiente da figura 1 e 10 bolas idênticas no recipiente da figura II.

Com a informação de que em cada compartimento cabe apenas uma bola, determine:
a) a probabilidade de que no primeiro recipiente as 4 bolas fiquem sem compartimentos vazios entre elas.
b) a probabilidade de que no segundo recipiente as 10 bolas fiquem alinhadas

Resposta

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146. a)
[tex3]\frac{1}{30}[/tex3]
b) \frac{22 ⋅ 10! ⋅ 90!}{100!}

[petrasMOD]

Existem C(10,4) = 210 formas de se escolher 4 dos dez compartimentos da figura I. Dessas 210 formas, em 7 delas os compartimentos são consecutivos.
Dessa forma, a probabilidade de não ficar compartimentos vazios entre elas é [tex3]\frac{7}{210}= \boxed{\frac{1}{30}_{//}}[/tex3]

b) Existem C(100,10) formas de se escolher 10 compartimentos dos dispostos na figura II. Dessas, existem 22 formas dos dez compartimentos estarem alinhados (dez linhas, dez colunas e duas diagonais). A probabilidade das dez bolas ficarem alinhadas é, portanto,
[tex3]\frac{22}{C100,10} = \frac{22}{ \frac{100!}{90! . 10!}}= \boxed{\frac{22 . 10! . 90!}{ 100!}_{//}}[/tex3]
(Solução:Objetivo)