Vol. 05 - Combinatória e Probabilidade 2013 ⇒ 143 - FME 05 -Teste de Vestibulares 2013 Tópico resolvido

[petrasMOD]

143. (FGV-SP) Três viajantes solitários param para pernoitar numa cidade que possui 7 hotéis.
Se cada viajante escolher ao acaso um hotel, a probabilidade de que escolham três hotéis todos diferentes entre si é:
a)[tex3]\frac{1}{73}[/tex3] b) [tex3]\frac{30}{49}[/tex3] c) [tex3]\frac{27}{35}[/tex3] d) [tex3]\frac{4}{7}[/tex3] e)[tex3]\frac{9}{14}[/tex3]

Resposta

---

b)

[Kin07]

Resolução:
Cada um dos 3 viajantes escolhe um hotel de forma independente entre os 7 hotéis disponíveis.

• O Viajante 1 tem 7 opções de hotel.

• O Viajante 2 tem 7 opções de hotel.

• O Viajante 3 tem 7 opções de hotel.

O número total de maneiras de os três viajantes escolherem diferentes hotéis é:

[tex3]\displaystyle \sf N_{\text{total}} = 7 \times 7 \times 7 = 7^3 [/tex3]

Possibilidades favoráveis (hotéis diferentes):

• O Viajante 1 pode escolher qualquer um dos 7 hotéis.

• O Viajante 2 deve escolher um hotel diferente do Viajante 1, então ele tem 7 - 1 = 6 opções.

• O Viajante 3 deve escolher um hotel diferente dos Viajantes 1 e 2, então ele tem 7 - 2 = 5 opções.

O número de maneiras em que os três viajantes escolhem hotéis diferentes é:
[tex3]\displaystyle \sf N_{\text{favoráveis}} = 7 \times 6 \times 5 [/tex3]

A probabilidade P de que os três viajantes escolham hotéis diferentes é a razão entre as possibilidades favoráveis e o total de possibilidades:

[tex3] \displaystyle \sf P = \dfrac{N_{\text{favoráveis}}}{N_{\text{total}}} = \dfrac{\cancel{7} \times 6 \times 5}{\cancel{7 }\times 7 \times 7} = \colorbox{#FAE7B5}{ $ \sf \dfrac{30}{49} $} [/tex3]

Alternativa correta é a letra B.