IME / ITA ⇒ (Simulado ITA) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[jrneliodias]

Se [tex3](a_1,\,a_2,\,a_3,...)[/tex3] é uma progressão geométrica tal que a razão é maior do que [tex3]1[/tex3], [tex3]a_1+a_2+a_3+a_4=30[/tex3] e
[tex3]\sum_{i=1}^4a_i^2=340[/tex3]. Calcule o quinto termo desta progressão.

[tex3]a)\,\,16[/tex3]

[tex3]b)\,\,32[/tex3]

[tex3]c)\,\,49[/tex3]

[tex3]d)\,\,64[/tex3]

[tex3]e)\,\,36[/tex3]

Obrigado pela atenção

[LucasPinafiMOD]

O segredo é reduzir as duas equações dadas para duas incógnitas: [tex3]a_1[/tex3] e [tex3]q[/tex3] (razão da PG)
[tex3]a_1+a_2+a_3+a_4 = 30 \Rightarrow a_1 \frac{q^4-1}{q-1}=30 \\ \therefore a_1^2 \frac{(q^4-1)^2}{(q-1)^2}=900 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \; \; \; \textrm{ (i)}[/tex3]
[tex3]a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2 = a_1^2 (1+q^2+q^4+q^6) = 340 \\ a_1^2 \frac{q^8-1}{q^2-1}=340 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \textrm{(ii)}[/tex3]
Segue que: [(i)/(ii)]
[tex3]\frac{(q^8-1)(q-1)^2}{(q^2-1)(q^4-1)}= \frac{17}{45} \Rightarrow \frac{q^4+1}{(q+1)^2(q^2+1)}= \frac{17}{45} \\ \therefore q^4+1 - \frac{17}{14} (q^3+q^2+q) =0[/tex3]
A partir da equação acima, é fácil ver que q = 2 é uma raiz;
[tex3]a_1 \frac{q^4-1}{q-1}= 30 \Rightarrow a_1 \frac{15}{2-1}=30 \Rightarrow a_1 =2[/tex3]
Veja que também satisfaz
[tex3]2^2 \frac{256}{4-1}= 340[/tex3]
Logo, [tex3]a_5= a_1 q^4 = 2\cdot 2^4 = 2^5 =32[/tex3]