IME / ITA ⇒ (ITA - 2005) Polinômios Tópico resolvido

[B005]

No desenvolvimento de [tex3](ax^2-2bx+c+1)^5[/tex3] obtém-se um polinômio [tex3]p(x)[/tex3] cujos coeficientes somam [tex3]32[/tex3]. Se [tex3]0[/tex3] e [tex3]{-1}[/tex3] são raízes de [tex3]p(x)[/tex3], então, a soma [tex3]a+b+c[/tex3] é igual a:

a) [tex3]{-}\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]{-}\frac{1}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

[Thadeu]

Sendo [tex3]0[/tex3] e [tex3]{-}1[/tex3] raízes de [tex3]p(x),[/tex3] temos:
Para [tex3]x = 0,[/tex3] [tex3]p(0) = 0,[/tex3] então:

[tex3][a(0)^2-2b(0)+c+1]^5=0\,\Rightarrow\,(c+1)^5=0\,\Rightarrow\,c=-1[/tex3]

Para [tex3]x = - 1,[/tex3] [tex3]p(-1) = 0,[/tex3] então:

[tex3][a(-1)^2-2b(-1)+c+1]^5=0\,\Rightarrow\,(a+2b-1+1)=0\,\Rightarrow\,a+2b=0[/tex3]

Foi dado que a soma dos coeficientes de [tex3]p(x)[/tex3] é [tex3]32,[/tex3] então:

[tex3](a-2b+c-1)^5=32\,\Rightarrow\,(a-2b-1+1)=\sqrt[5]{32}\,\Rightarrow\,a-2b=2[/tex3]

Isso nos dá o sisteminha:
[tex3]\{a+2b=0\\a-2b=2[/tex3]

Somando as duas equações:
[tex3]2a=2\,\Rightarrow\,a=1[/tex3]

Substituindo na 1ª equação:
[tex3]1+2b=0\,\Rightarrow\,b=-\frac{1}{2}[/tex3]

A soma [tex3]a + b + c 1-\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}[/tex3]

resp a

[B005]

Obrigado,Thadeu!

[B005]

Olá,Thadeu
Onde consegui o texto da questão, o desenvolvimento da equação veio um pouco diferente, mas de mesmo resultado


[tex3]\{a+2b=0\\{(a-2b)^5=32}[/tex3]

assim:

[tex3](2a)^5=32[/tex3], portanto [tex3]a^5=1,[/tex3] portanto [tex3]a = \cos \frac{h\cdot 2\pi}{5} + i \cdot \text{sen} \frac{h\cdot 2\pi}{5} ,\ h \in \{0,1,2,3,4\}[/tex3]

como [tex3]b=-\frac{a}{2}[/tex3],temos:

[tex3]a+b+c=\frac{a}{2}-1[/tex3].

Portanto [tex3]a+b+c=\frac{1}{2} \cdot \[\cos \frac{h \cdot 2\pi}{5}+ i \cdot \text{sen} \frac{h\cdot 2\pi}{5}\] -1[/tex3]

Somente para [tex3]h=0[/tex3](coeficientes reais),teríamos:

[tex3]a+b+c=\frac{1}{2}[cos 0+i\cdot \text{sen}\cdot 0]-1= - \frac{1}{2}[/tex3]

Você sabe o porque desse desenvolvimento aparentemente diferente?
Até mais!

[Karl Weierstrass]

Olá B005,

Procure pela Segunda Fórmula de Moivre (números complexos) para entender a segunda solução.