IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2008) Conjuntos Numéricos: MDC e MMC Tópico resolvido

[augustoxd]

O mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre os números naturais [tex3]a, x \text{ e } b[/tex3] são respectivamente iguais a [tex3]1680 \text{ e } 120.[/tex3] Sendo [tex3]a < x < b,[/tex3] quantos são os valores de [tex3]x[/tex3] que satisfazem essas condições?

a) Nenhum.
b) Apenas um.
c) Apenas dois.
d) Apenas três.
e) Apenas quatro.

Resposta:

---

c

[fabit]

• [tex3]120=2^3\cdot 3\cdot 5.[/tex3]
  
  [tex3]1680= 2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7[/tex3]

Logo, [tex3]a,x \text{ e } b[/tex3] são tais que

• [tex3]a=2^{3+\alpha_1}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^{\alpha_2},[/tex3]
  [tex3]x=2^{3+\beta_1}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^{\beta_2}\text{ e }[/tex3]
  [tex3]b=2^{3+\gamma_1}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^{\gamma_2},[/tex3]

com [tex3]\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1 \text{ e } \gamma_2\in\{0,1\}.[/tex3]

Sabendo que [tex3]a<x<b,[/tex3] as únicas possíbilidades são

• [tex3]\left|\begin{array}{l}
  \alpha_1=0 \\
  \alpha_2=0 \\
  \beta_1=1 \\
  \beta_2=0\\
  \gamma_1=0 \\
  \gamma_2=1\\
  \end{array}\right.[/tex3] [tex3]\text{ e }[/tex3] [tex3]\left|\begin{array}{l}
  \alpha_1=0 \\
  \alpha_2=0 \\
  \beta_1=1 \\
  \beta_2=0\\
  \gamma_1=1 \\
  \gamma_2=1\\
  \end{array}\right.[/tex3]

Letra (c).