IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2004) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Numa pirâmide regular cuja base é um quadrado, os números [tex3]\sqrt{2}[/tex3], o apótema [tex3]\underline{a}[/tex3] da base e a altura [tex3]\underline{h}[/tex3] da pirâmide formam, nesta ordem, uma progressão aritmética e a soma destes é [tex3]9\sqrt{2}[/tex3]. O valor da área da superfície total desta pirâmide é

(A) [tex3]24(1+2\sqrt{17})[/tex3].
(B) [tex3]48(3+\sqrt{34})[/tex3].
(C) [tex3]36(2+2\sqrt{34})[/tex3].
(D) [tex3]12(3+3\sqrt{17})[/tex3].
(E) [tex3]24(3+\sqrt{34})[/tex3].

Resposta

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(E)

[fabit]

PA de três termos com soma [tex3]9\sqrt{2}[/tex3] só pode ser se o do meio for [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]. E como o primeiro é [tex3]\sqrt{2}[/tex3], então o terceiro é [tex3]5\sqrt{2}[/tex3].

Por pitágoras, o apótema da pirâmide é [tex3]H=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+50}=2\sqrt{17}[/tex3]

Como o lado da base é [tex3]2a=6\sqrt{2}[/tex3], a área lateral é [tex3]4\times\frac{6\sqrt{2}\times2\sqrt{17}}{2}=24\sqrt{34}[/tex3]

Mais a área da base, que é [tex3](2a)^2=36\times2=72[/tex3], o total é [tex3]24\sqrt{34}+72=24(\sqrt{34}+3)[/tex3]

Letra E