IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[Wachsmuth]

Num quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] tem-se: [tex3]AB=42,[/tex3] [tex3]BC=48,[/tex3] [tex3]CD=64,[/tex3] [tex3]DA=49[/tex3] e [tex3]P[/tex3] é o ponto de interseção entre as diagonais [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BD.[/tex3] Qual a razão entre os segmentos [tex3]PA[/tex3] e [tex3]PC,[/tex3] sabendo-se que a diagonal [tex3]BD[/tex3] é igual a [tex3]56?[/tex3]

a) [tex3]\frac{7}{8}[/tex3]
b) [tex3]\frac{8}{7}[/tex3]
c) [tex3]\frac{7}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{6}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{49}{64}[/tex3]

[Ednardo]

Dicas:
Verifique que:

1. Os triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BCD[/tex3] são semelhantes.
2. Os angulos [tex3]C\hat{B}D[/tex3] e [tex3]B\hat{A}D[/tex3] são iguais, assim como, os ângulos [tex3]B\hat{P}C[/tex3] e [tex3]A\hat{P}D.[/tex3]
3. Use a lei dos senos nos triângulos [tex3]BCP, PAD[/tex3] e [tex3]ABD[/tex3] envolvendo os lados [tex3]BC,PC, AD, PA, BD[/tex3] e [tex3]AB.[/tex3]
4. Resolva as 3 equações encontrando o valor de [tex3]\frac{PA}{PC}[/tex3] que dá [tex3]\frac{49}{64}[/tex3] se não me engano.

[alineMOD]

Oi,

Poxa tô um tempão tentando fazer essa questão, mas uma coisa eu consegui ver, a semelhanca que o Ednardo falou dos triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BCD[/tex3] acho que não existe. Pelo menos não consegui provar.
Ednardo, dá pra você nos explicar melhor o que fez?
Vou tentar mais um pouco.
bjins

[Ednardo]

Os triângulos [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BCD[/tex3] são semelhantes ao triângulo de lados [tex3]6,[/tex3] [tex3]7[/tex3] e [tex3]8.[/tex3] Basta dividir os lados do triângulo [tex3]ABD[/tex3] por [tex3]7[/tex3] e os lados de [tex3]B\hat{C}D[/tex3] por [tex3]8.[/tex3]

Sejam:

• o ângulo [tex3]D\hat{B}C = a[/tex3]
  o ângulo [tex3]B\hat{P}C = b[/tex3]
  o ângulo [tex3]A\hat{D}B = c[/tex3]
  [tex3]AP = x[/tex3] e [tex3]PC = y[/tex3]

Assim temos que:

O ângulo [tex3]B\hat{A}D[/tex3] será congruente a [tex3]a[/tex3] e o ângulo [tex3]A\hat{P}D[/tex3] será congruente a [tex3]b[/tex3].

Aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]BPC:[/tex3]

• [tex3]\Large\frac{y}{\text{sen}\,a}\large=\Large\frac{48}{\text{sen}\,b}\large[/tex3]

Aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]APD:[/tex3]

• [tex3]\Large\frac{x}{\text{sen}\,c}\large=\Large\frac{49}{\text{sen}\,b}\large[/tex3]

Aplicando a lei dos senos no triângulo [tex3]ABD:[/tex3]

• [tex3]\Large\frac{56}{\text{sen}\,a}\large=\Large\frac{42}{\text{sen}\,c}\large[/tex3]

Agora basta manipular as equações e achar o valor de [tex3]x/y.[/tex3]

[petrasMOD]

Outra resolução:

[tex3]\mathsf{\frac{AB}{CB}=\frac{42}{48}=\frac{7}{8}=\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}\\
\therefore \triangle ABD \sim \triangle BCD \rightarrow \angle ADB\cong \angle BDC\therefore DB~é~bissetriz\\
T. Bissetriz ~\triangle ADC:PA.64 = PC.49\therefore \boxed{\color{red}\frac{PA}{PC}=\frac{49}{64}}}[/tex3]