IME / ITA ⇒ (EEAR 2/2003) Equivalência Trigonométrica Tópico resolvido

[AndressaFelix]

Se 0< x <pi/2 , então a expressão tg x/2+ cotgx/2 é equivalente a :
a) 2 senx b) 2 secx c) 2 cosx d) 2 cossecx

Não estou conseguindo resolver esta questão...

[cajuADMIN]

Olá AndressaFelix,

Por favor, leia o tutorial de como inserir equações no fórum. Tenho certeza que ao utilizar as facilidades do fórum todos conseguirão entender muito melhor suas questões.

Bom, vamos à resolução:

Primeiramente vamos transformar a cotangente no inverso da tangente:

[tex3]\tan\(\frac{x}{2}\)+\frac{1}{\tan\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

Agora vamos efetuar a soma das frações aplicando o "MMC":

[tex3]\frac{\tan^2\(\frac{x}{2}\)+1}{\tan\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

Agora que vem o "pulo do gato". Vamos inverter esta fração (sem modificar seu valor):

[tex3]\frac{1}{\,\,\,\frac{\tan\(\frac{x}{2}\)}{1+\tan^2\(\frac{x}{2}\)}\,\,\,}[/tex3]

E agora multiplicar por 2 em cima e em baixo da fração principal:

[tex3]\frac{2}{\,\,\,\frac{2\cdot\tan\(\frac{x}{2}\)}{1+\tan^2\(\frac{x}{2}\)}\,\,\,}[/tex3]

Agora você deve enxergar que o denominador da fração principal é exatamente a fórmula da tangente do arco duplo [tex3]\tan(2\alpha)=\frac{2\cdot\tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}[/tex3] com [tex3]\alpha[/tex3] valendo [tex3]\frac x2[/tex3] ou seja [tex3]\tan\(\cancel{2}\cdot\frac{x}{\cancel{2}}\)=\frac{2\cdot\tan\(\frac x2\)}{1+\tan^2\(\frac x2\)}[/tex3]

Vamos então substituir esta última fórmula na expressão que já manipulamos:

[tex3]\frac{2}{\tan(x)}[/tex3]

Que, nada mais é do que:

[tex3]2\cot(x)[/tex3]

Um grande abraço
Prof. Caju