IME / ITA ⇒ (CMPA) Aritmética Tópico resolvido

[botelho]

Seja K=A+B, onde A e B são dois números inteiros positivos não primos entre si A>B, pelo algoritmo de Euclides, os quocientes encontrados foram 2, 5 ,3 e 4, nesta ordem. Se o penúltimo resto foi 7 , tem-se que a soma dos valores absolutos dos algarismos do número K é igual a
a)6
b)7
c)8
d)9
e)10

Resposta

---

e

[JonathanLuck]

Sejam [tex3]\(A\)[/tex3] e [tex3]\(B\)[/tex3] dois números inteiros positivos não primos entre si, com [tex3]\(A > B\)[/tex3], e seja [tex3]\(K = A + B\)[/tex3]. Pelo algoritmo de Euclides, temos os quocientes [tex3]\( q_1 = 2 \)[/tex3], [tex3]\( q_2 = 5 \)[/tex3], [tex3]\( q_3 = 3 \) [/tex3]e [tex3]\( q_4 = 4 \)[/tex3], nesta ordem. Sabemos também que o penúltimo resto [tex3]\( r_3 = 7 \).[/tex3]

As operações do algoritmo de Euclides podem ser descritas da seguinte forma:

\[
A = q_1 \times B + r_1
\]
\[
B = q_2 \times r_1 + r_2
\]
\[
r_1 = q_3 \times r_2 + r_3
\]
\[
r_2 = q_4 \times r_3 + r_4
\]

Sabemos que o último resto [tex3]\( r_4 = 0 \)[/tex3], pois o processo termina quando o resto é zero. Substituindo os valores conhecidos, temos:

\[
r_2 = 4 \times 7 + 0 \quad \Rightarrow \quad r_2 = 28
\]
\[
r_1 = 3 \times 28 + 7 = 84 + 7 = 91
\]
\[
B = 5 \times 91 + 28 = 455 + 28 = 483
\]
\[
A = 2 \times 483 + 91 = 966 + 91 = 1057
\]

Portanto, [tex3]\( K = A + B = 1057 + 483 = 1540 \)[/tex3].

A soma dos valores absolutos dos algarismos de [tex3]\( K \)[/tex3] é:

\[
1 + 5 + 4 + 0 = 10
\]

Portanto, a soma dos valores absolutos dos algarismos do número [tex3]\( K \) [/tex3] é igual a [tex3]\boxed{10}[/tex3].

                        acredito que seja isto.