IME / ITA ⇒ conjuntos e álgebra

[xeroks]

boa tarde, alguém pode me ajudar com essa

Se n(A)=n(B)=50 assim como 2^n(A) + 2^n(B) + 2^n(C) = 2^n(AUBUC) , então o valor mínimo de elementos de A∩B∩C é igual a:

gabarito:47

[xeroks]

@xeroks

Além disso é uma potência de 2, assim n(C)-51=0→n(C)=51 e n(A∪B∪C)-51=1→n(A∪B∪C)=52
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB-)n(A∩C)-n(BC)+n(A∩B∩C)
52=50+50+51-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)
n(A∩B∩C)=n(A∩B)+n(A∩C)+n(B∩C)-99

Sabendo que n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)n(A∩B)=50+50-n(A∪B)
n(A∩B)=100-n(A∪B); analogamente
n(A∩C)=101-n(A∪C) e
n(B∩C)=101-n(B∪C).

Sendo A∪B, A∪C e B∪C subconjuntos de A∪B∪C serão menores ou iguais a 52, então n(A∩B∩C)min acontece para A∪B, A∪C e B∪C máximos, ou seja, 52.
n(A∩B∩C)min=203-3×52=47

(Solução:EstratégiaMilitares)