IME / ITA ⇒ Tópicos de Álgebra Elementar - Frações Algébricas Tópico resolvido

[pinheiroawk]

Saudações, pessoal! A dica do livro é achar [tex3]x^8[/tex3] e substituir na expressão, mas busco uma outra solução, sem utilizar a dica do livro.

Se [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números reais tais que [tex3]\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = k[/tex3]
O valor de [tex3]\frac{x^8 + y^8}{x^8 - y^8} + \frac{x^8 - y^8}{x^8 + y^8}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{k^4 + 24k^2 + 16}{4k^3 + 16k}[/tex3]
b) [tex3]\frac{k^4 - 24k^2 - 16}{4k^3 - 16k}[/tex3]
c) [tex3]\frac{k^4 + 24k^2 - 16}{4k^3 - 16k}[/tex3]
d) [tex3]\frac{k^4 + 24k^2 - 16}{4k^3 + 16k}[/tex3]
e) [tex3]\frac{k^4 - 24k^2 + 16}{4k^3 + 16k}[/tex3]

Resposta

---

A

[petrasMOD]

Faça a=x² e b=y². Então
[tex3]k=\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}= \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2-b^2}= \frac{2(a^2+b^2)}{a^2-b^2}(I)[/tex3]
Agora, queremos
[tex3]E=\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}+\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}
=\frac{a^4+b^4}{a^4-b^4}+\frac{a^4-b^4}{a^4+b^4}
= \frac{2(a^8+b^8)}{a^8-b^8}(\div b^8)=2\frac{\frac{a^8}{b^8}+1}{\frac{a^8}{b^8}-1}[/tex3]
Seja: [tex3] r=\frac{a}{b} \implies
\frac{a^8}{b^8}=(r^2)^4 \therefore E =2\frac{(r^2)^4+1}{(r^2)^4-1} (II)
[/tex3]
Dividindo (I) por b²
[tex3] k = 2\frac{ \frac{a^2}{b^2}+1} {\frac{a^2}{b^2}-1}\\

\frac{a^2}{b^2}=r^2
\\
\therefore:k=2\frac{r^2+1}{r^2-1}\\
Isolando (r^2):
k(r^2-1)=2(r^2+1) \implies kr^2-k=2r^2+2 \implies (k-2)r^2=k+2\\
\therefore r^2=\frac{k+2}{k-2}
[/tex3]
Substituindo em (II):[tex3] E =2\frac{(\frac{k+2}{k-2})^4+1}{(\frac{k+2}{k-2})^4-1}\\
=2\frac{\frac{(k+2)^4}{(k-2)^4}+1} {\frac{(k+2)^4} {(k-2)^4}-1 }\\
=2\frac{(k+2)^4+(k-2)^4}{(k+2)^4-(k-2)^4}\\
(k+2)^4=k^4+8k^3+24k^2+32k+16(III)\\
(k-2)^4=k^4-8k^3+24k^2-32k+16(IV)\\
(III)+(IV) = 2k^4+48k^2+32\\
(III)-(IV) = 16k^3+64k = 16k(k^2+4)\\
Substituindo ~em~ E: E = 2 \frac{2k^4+48k^2+32}{16k(k^2+4)}=\frac{4k^4+96k^2+64}{16k^3+64}(\div 4) \implies \boxed{\frac{k^4+24k^2+16}{4k^3+16} }

[/tex3]


(para [tex3] k≠0,±2[/tex3] onde as expressões estão definidas).

[pinheiroawk]

Que excelente visão, mestre!! Muito obrigado.