IME / ITA ⇒ Triângulos/Semelhança de triângulos Tópico resolvido

[Sarapuguinho]

(CN/1999)
Dados os casos clássicos de congruência de triângulos A.L.A., L.A.L., L.L.L. e L.A.Ao onde L = lado, A =
ângulo e Ao = ângulo oposto ao lado dado, complete corretamente as lacunas das sentenças abaixo
e assinale a alternativa correta.
I. Para se mostrar que a mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos do plano
equidistantes dos extremos A e B, usa-se o caso ____ de congruência de triângulos.
II. Para se mostrar que a bissetriz de um ângulo AÊC tem seus pontos equidistantes dos lados BA e
BC desse ângulo, sem usar o teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo, usa-se o caso
____ de congruência de triângulos.
a) L.A.L. / A.L.A.
b) L.A.L. / L.A.Ao.
c) L.L.L. / L.A.Ao.
d) L.A.Ao. / L.A.L.
e) A.L.A. / L.L.L.

Alguém podia me ajudar nessa? Procurei mas não encontrei a resolução em nenhum lugar

[petrasMOD]

A mediatriz é a reta perpendicular ao segmento AB que passa pelo seu ponto médio M.
Para provar que qualquer ponto P sobre a mediatriz é equidistante de A e B (PA = PB), observamos os triângulos [tex3]\Delta PMA [/tex3] e [tex3]\Delta PMB[/tex3]:
O lado PM é comum aos dois triângulos (Lado).Os ângulos em M são retos, pois a mediatriz é perpendicular [tex3](\hat{M} = 90^{\circ}[/tex3]) (Ângulo).
AM = MB, pois M é o ponto médio (Lado).Portanto, usamos o caso L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado).

Para provar que um ponto P na bissetriz de um ângulo ABC é equidistante dos lados (ou seja, a distância de P até a semirreta BA é igual à distância de P até a semirreta BC), traçamos as perpendiculares de P aos lados, encontrando os pontos X e Y. Analisando os triângulos [tex3]\Delta BXP[/tex3] e [tex3]\Delta BYP[/tex3]:
O lado BP (hipotenusa) é comum aos dois triângulos.Os ângulos [tex3]\hat{X} [/tex3]e [tex3]\hat{Y}[/tex3] são retos ([tex3]90^{\circ}[/tex3]).Os ângulos [tex3]\angle PBX [/tex3]e [tex3]\angle PBY[/tex3] são iguais, pois BP é a bissetriz (Ângulo oposto ao lado perpendicular).Como o enunciado pede para não usar a soma dos ângulos internos (o que nos impediria de deduzir o terceiro ângulo para usar A.L.A.), o caso que se aplica diretamente com o ângulo reto e o ângulo da bissetriz é o L.A.A_o (Lado, Ângulo adjacente e Ângulo oposto ao lado).