IME / ITA ⇒ Valor de um segmento no paralelogramo Tópico resolvido

[HeitorSntrs]

Na figura ABCD e BRLD são paralelogramos. Se AE=24m e FR=20m, encontre EF

[ProfLaplace]

Olá.
Vamos denotar [tex3]EF=x,[/tex3] [tex3]AD=BC=a[/tex3] e [tex3]CR=b.[/tex3]
Como BRLD é paralelogramo, temos que [tex3]DL=a+b.[/tex3]

Observe que os triângulos AED e ARL são semelhantes por AA, já que ED e RL são paralelos.
Daí segue que
[tex3]\frac{AE}{AD}=\frac{AR}{AL} \Rightarrow \frac{24}{a}=\frac{44+x}{2a+b} \Rightarrow 44+x=24\frac{2a+b}{a}.[/tex3]

Do mesmo modo, CRF e ABR são semelhantes também.
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[tex3]\frac{RF}{CR}=\frac{AR}{BR} \Rightarrow \frac{20}{b}=\frac{44+x}{a+b} \Rightarrow 44+x=20\frac{a+b}{b}.[/tex3]

Igualando as duas, temos
[tex3]24\frac{2a+b}{a}=20\frac{a+b}{b}[/tex3]
Dando uma arrumada, vc chega em [tex3]6b^2+7ab-5a^2=0.[/tex3]
Faça Bhaskara na incógnita [tex3]b:[/tex3]
[tex3]\Delta=(7a)^2-4.6.(-5a)=49a^2+120a^2=169a^2[/tex3]
[tex3]\sqrt{\Delta}=13a.[/tex3]
[tex3]b=\frac{-7a\pm13a}{12}[/tex3]
Como [tex3]b[/tex3] tem que ser positivo, segue que [tex3]b=\frac{a}{2}.[/tex3]
Ou, de forma, equivalente, [tex3]a=2b.[/tex3]

Troque agora [tex3]a[/tex3] por [tex3]2b[/tex3] em qualquer uma das duas equações iniciais.
Vou trocar na segunda:
[tex3]44+x=20\frac{a+b}{b}\Rightarrow 44+x=20\frac{2b+b}{b}=20\frac{3b}{b}=20\cdot3=60.[/tex3]
Daí segue que [tex3]EF=x=16\,m.[/tex3]

Preciso sair agora pois estou corrido!
No fim da tarde eu coloco a imagem qualquer coisa.
Mas acho que já dá para você passar tudo a limpo e ir completando as passagens que eu falei.

[HeitorSntrs]

Consegui entender cara. Valeu!
Tava viajando tentando traçar um reta paralela em A. Não tinha pensado que daria certo escrever a em função de b e que poderia depois cortar ele.