IME / ITA ⇒ Descrever o valor de um arco pelo seno/tangente Tópico resolvido

[HeitorSntrs]

Na figura abaixo tem-se uma rampa de skate. Essa rampa é formada por um sexto de um arco de circunferência. Se AB = 2[tex3]\sqrt{2}[/tex3] e CD = L, determine a medida da superfície da rampa em função de L e utilizando o seno ou a tangente de [tex3]\theta [/tex3]

[ProfLaplace]

Achei tudo meio confuso... mas vou responder com base no que eu entendi.
Vamos chamar o ponto à direita de B de E.
Temos [tex3]\frac{DE}{DC}=\tan{\theta} \Rightarrow DE=L\tan{\theta}.[/tex3]
Como BCDE é retângulo, temos [tex3]CB=L\tan{\theta}.[/tex3]
Pitágoras em ABC:
[tex3]AC^2=AB^2+BC^2=8+L^2\tan^2{\theta} \Rightarrow AC=\sqrt{8+L^2\tan^2{\theta}}.[/tex3]
Agora imagine o ponto O, centro da circunferência, lá no canto esquerdo superior.
O ângulo AOC é 60º (um sexto de circunferência, como é dito).
Sendo R o raio da circunferência, tem-se [tex3]OA=OC=R.[/tex3]
Logo AOC é isósceles, e os ângulos da base AC são iguais e somam 120º.
Ou seja, cada um vale 60º, de forma que AOC é na verdade equilátero!
Assim, [tex3]R=AC=\sqrt{8+L^2\tan^2{\theta}}.[/tex3]
(Obs: caso o triângulo não fosse equilátero, vc poderia usar a Lei dos Cossenos, ou cortar o triângulo ao meio).
Enfim, o comprimento da rampa (C) será um sexto do comprimento total da circunferência:
[tex3]C=\frac{2\pi R}{6} \Rightarrow C=\frac{\pi}{3}\sqrt{8+L^2\tan^2{\theta}}.[/tex3]
Pra mim essa é a resposta.

[HeitorSntrs]

Bom dia cara. Também não consegui entender. A resposta dessa questão é [tex3]\pi[/tex3]L.tan[tex3]\theta[/tex3]

[HeitorSntrs]

@HeitorSntrs,

O gabarito está errado. A resoluçaõ do Laplace está correta.
https://www.geogebra.org/classic/savgwkkr
Clique em qualquer lugar do geogebra e arraste para a figura apareçer totalmente
Clique e no ponto C e desloque para verificar que o valor dado pela fórmula encontrada se mantem verdadeiro

[HeitorSntrs]

@petrasMOD Obrigado pela demonstração prática. Vou entrar em contato com o professor para mudar o gabarito

[cajuADMIN]

Olá a todos.

A resposta do colega @ProfLaplace deu o COMPRIMENTO do arco da pista. Mas o comando da questão pede a SUPERFÍCIE.

Será que não está pedindo a área? Se for só a área da parte curva, falta a largura da pista pra calcular. E se for a área da figura apresentada como um todo, já que o enunciado fala que a figura abaixo representa uma rampa de skate e o comando pede a superfície dessa rampa...

É um ponto a se pensar.

Grande abraço,
Prof. Caju

[HeitorSntrs]

Professor acho que não seria a área, pois de acordo com as minhas contas a área da rampa está resultando na área L[tex3]\sqrt2[/tex3][tex3]\tan\theta[/tex3]-[(8-L².[tex3]\tan\theta[/tex3]^2)(2[tex3]\pi[/tex3]-3[tex3]\sqrt{3}[/tex3])]/12
O que acredito que não resultará no suposto gabarito da questão, analisando apenas o fato de que irá gerar uma equação com alguns quadrados, o que não tem nas alternativas

[petrasMOD]

Creio que foi equivocado a colocação de "superfície"...como Caju disse precisaria da largura,,a área não confere com o gabarito fornecido também