IME / ITA ⇒ Geo Plana - Menelaus (ITA/FB) Tópico resolvido

[TimóteoCruz]

Em um triângulo ABC de área igual a 52 m^2 , as cevianas AE e BF interceptam-se em P, conforme a figura a seguir. Se BE = 3 ⋅ EC e AC = 4 ⋅ AF, determine a área da região triangular BPE.

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Resposta

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[Klaus6699]

traa esse traço é faz proporão que ceviana faz num triãngulo

[Klaus6699]

aqui

[Klaus6699]

com isso que mostrei agora tente provar nessa figura que Ârea desses três triãngulos vermelhos são iguais

[TimóteoCruz]

Muito obrigado, irmão. Apenas te aconselharia a fazer respostas mais detalhadas e organizadas, porque as vezes é difícil "prever" o que uma pessoa quer expressar, porém meu muito obrigado!

[TimóteoCruz]

@TimóteoCruz,

As bases nos informam as proporções das áreas dos triângulos maiores:
Como BE = 3EC, a base BC está dividida na razão 3:1.
A área do triângulo ABE é [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] da área total[tex3]: S_{ABE} = \frac{3}{4} \cdot 52 = 39[/tex3]

Como AC = 4AF, então FC = 3AF A base AC está dividida na razão 1:3.
A área do triângulo ABF é [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] da área total:[tex3]S_{ABF} = \frac{1}{4} \cdot 52 = 13[/tex3]

Para encontrar a área de BPE, precisamos saber como o ponto P divide a ceviana AE. Aplicamos Menelaus no triângulo AEC com a transversal passando por B, P, F
[tex3]\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EP}{PA} = 1[/tex3]
Substituindo as proporções[tex3] (\frac{AF}{FC} = \frac{1}{3}: \frac{CB}{BE} = \frac{4}{3}):\\ \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{EP}{PA} = 1 \implies \frac{4}{9} \cdot \frac{EP}{PA} = 1 \implies \frac{EP}{PA} = \frac{9}{4}[/tex3]
Portanto o segmento AE está dividido em 9 + 4 = 13 partes, onde EP representa 9 dessas partes.

O triângulo BPE e o triângulo ABE compartilham o mesmo vértice B e suas bases estão sobre a mesma reta AE. Portanto, a razão entre suas áreas é a mesma razão entre suas bases (EP e AE):
[tex3]S_{BPE} = \frac{EP}{AE} \cdot S_{ABE} \implies S_{BPE} = \frac{9}{13} \cdot 39 = \boxed{27}[/tex3]