IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2001) Conjuntos Numéricos: Divisibilidade Tópico resolvido

[ggarcia]

Se [tex3]a[/tex3] é um número natural, [tex3]a^5 - 5a^3 + 4a[/tex3] é sempre divisível por:

a) [tex3]41[/tex3]
b) [tex3]48[/tex3]
c) [tex3]50[/tex3]
d) [tex3]60[/tex3]
e) [tex3]72[/tex3]

[italoemanuell]

Olá ggarcia!!
Se caísse numa prova multipla escolha, eu te aconselharia a botar a=3
e calcular.
Se não, então a^5 - 5a^3 + 4a = a*(a^4 - 5a^2 + 4a) = a*(a^2-4)(a^2-1)
= a*(a+2)*(a-2)*(a+1)*(a-1)
Repare que isso é o produto de 5 números consecutivos.
Ou seja, dentre eles obrigatoriamente haverá algum
n== 0 (mod2)
n== 0 (mod3)
n== 0 (mod4)
n== 0 (mod5)

Ou seja, é divisivel por 2*3*4*5 = 120

Resposta: 60

______________
"A Matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas. (Gauss)"

[SBAN]

So uma complementação para quem está estudando para o CN. essa é a questão 45 do Livro Solving Problems in ALGEBRA and TRIGONOMETRY by V.Litvinenko A.Mordkavich. O CN e o IME adora tirar questões desse livro. quem for prestar para estes vestibulares recomendo!