IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1958) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Simplificar a expressão:

[tex3]\frac{cosx-cos5x}{sen5x-senx}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\boxed{y=tg3x}[/tex3]

[DouglasM]

Olá Aldrin. Essa questão é resolvida aplicando as fórmulas de prostaférese:
[tex3]\cos a - \cos b = -2\sen {\frac{a+b}{2}}\sen {\frac{a-b}{2}}[/tex3]
[tex3]\sen a - \sen b = 2\sen {\frac{a-b}{2}}\cos {\frac{a+b}{2}}[/tex3]

Aplicando temos:

[tex3]\frac{\cos x - \cos 5x}{\sen 5x - \sen x} = \frac{-2\sen \(\frac{x+5x}{2}\)\sen \(\frac{x-5x}{2}\)}{2\sen \(\frac{5x-x}{2}\)\sen \(\frac{5x+x}{2}\)} =\frac{-2\sen (3x)\sen (-2x)}{2\sen (2x)\cos (3x)} = \frac{\sen 3x}{\cos 3x} = \tg 3x[/tex3]

Até a próxima!

[Natan]

Você sabe demosntrar essas relações?

[hygorvv]

cara, tu nao pediu a mim, mas vou demonstrar =x rs
peço licença ao Douglas por isso rs

seja [tex3]cos(a+b)=cos(a).cos(b)-sen(a).sen(b) (I)[/tex3]
e [tex3]cos(a-b)=cos(a).cos(b)+sen(a).sen(b) (II)[/tex3]

fazendo um sistema entre [tex3](I)[/tex3] e [tex3](II)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}cos(a+b)=cos(a).cos(b)-sen(a).sen(b) \\ cos(a-b)=cosa.cos(b)+sen(a).sen(b) \end{cases}[/tex3]
somando (I) com (II), temos
[tex3]cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a).cos(b)[/tex3]

seja [tex3]a+b=m[/tex3] e [tex3]a-b=n[/tex3], e fazendo outro sistema entre eles, temos
[tex3]\begin{cases}a+b=m \\ a-b=n \end{cases}[/tex3]
resolvendo, temos que
[tex3]a=\frac{m+n}{2}[/tex3]
[tex3]b=\frac{m-n}{2}[/tex3]
entao
[tex3]cos(m)+cos(n)=2cos(\frac{m+n}{2}).cos(\frac{m-n}{2})[/tex3]

a outra demonstraçao segue de modo análogo
espero que compreenda

[DouglasM]

Foi mal Natan, acabei não vendo sua pergunta. Mas agradeço ao hygorvv por ter demonstrado! Até a próxima.

[Natan]

Valeu ai, simples a demosntração..., pensei que seria complicadona.

Obrigadão!