IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2010) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considere o triângulo isósceles [tex3]ABC[/tex3] inscrito em um círculo, conforme figura abaixo. Suponha que o raio do círculo cresce a uma taxa de [tex3]3\text{ cm/s}[/tex3] e a altura [tex3]\overline{AD}[/tex3] do triângulo cresce a uma taxa de [tex3]5\text{ cm/s}[/tex3]. A taxa de crescimento da área do triângulo no instante em que o raio e a altura [tex3]\overline{AD}[/tex3] medem, respectivamente, [tex3]10\text{ cm}[/tex3] e [tex3]16\text{ cm}[/tex3], é

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(A) [tex3]78\text{ cm^2/s}[/tex3].
(B) [tex3]76\text{ cm^2/s}[/tex3].
(C) [tex3]64\text{ cm^2/s}[/tex3]
(D) [tex3]56\text{ cm^2/s}[/tex3]
(E) [tex3]52\text{ cm^2/s}[/tex3]

Resposta

---

B

[Natan]

Essa é mais de taxas relacionadas né?, se bem que é meio a meio..., enfim vamos a solução..

Assim como no triângulo equilátero, no isósceles a altura divide o lado oposto em seguimentos iguais, então podemos fazer:

[tex3]\overline{BD}=\overline{DC}=b[/tex3]

agora apliquemos pitágoras no triângulo de hipotenusa [tex3]r[/tex3] e catetos [tex3]b[/tex3]
e [tex3]h-r[/tex3] ficando com:

[tex3]r^2=(h-r)^2+b^2\, \Rightarrow\, b=\sqrt{2rh-h^2}[/tex3]

a área o triângulo isósceles será então:

[tex3]S=\frac{(2b).h}{2}=h\sqrt{2rh-h^2}[/tex3] derivando implicitamente ambos os lados em t:

[tex3]\frac{dS}{dt}=\frac{dh}{dt}\sqrt{2rh-h^2}+h\frac{1}{\cancel{2}\sqrt{2rh-h^2}}\left(\cancel{2}\frac{dr}{dt}.h+\cancel{2}r\frac{dh}{dt}-\cancel{2}h\frac{dh}{dt}\right)[/tex3]

substituindo: [tex3]\frac{dr}{dt}=3,\, \frac{dh}{dt}=5,\, r=10\, e\, h=16[/tex3] obtemos:

[tex3]\frac{dS}{dt}=5.8+16.\frac{1}{8}(3.16+10.5-16.5)=40+2.18=76cm^2/s[/tex3]

Letra [tex3]\boxed{b}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá,Aldrin.

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[tex3]AD=x[/tex3]

De acordo com os dados temos:

[tex3]\frac{dr}{dt}=3\text{cm/s}[/tex3]

[tex3]\frac{dx}{dt}=5\text{cm/s}[/tex3]

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo teremos:

[tex3]y^2=r^2-(x-r)^2 \Rightarrow y^2=r^2-(x^2-2xr+r^2) \Rightarrow y^2=r^2-x^2+2xr-r^2 \Rightarrow y=\sqrt{2rx-x^2}[/tex3]

[tex3]A_t=\frac{2yx}{2}\Rightarrow A=xy \Rightarrow A=x\sqrt{2rx-x^2}[/tex3]

Derivando a área em relação ao tempo teremos:

[tex3]\frac{dA}{dt}=\frac{dx}{dt}\cdot \sqrt{2rx-x^2}+\(\frac{1[2\(\frac{dx}{dt}\cdot r+\frac{dr}{dt}\cdot x\)-2x\cdot \frac{dx}{dt}}{2\sqrt{2rx-x^2}}\)\cdot x \Rightarrow[/tex3]

Substituindo temos:

[tex3]\frac{dA}{dt}=x\sqrt{2rx-x^2}+\left(\frac{\frac{dx}{dt}\cdot r+\frac{dr}{dx}\cdot x-x\cdot \frac{dx}{dt}}{\sqrt{2rx-x^2}}\right)\cdot x[/tex3]

[tex3]\frac{dA}{dt}=5\sqrt{(2\cdot 10\cdot 16-(16)^2}+\left(\frac{5\cdot 10+3\cdot 16-16\cdot 5}{\sqrt{2\cdot 10\cdot 16\cdot (16)^2}}\right)\cdot 16=76\text{cm^2/s}[/tex3]
Alternativa:B