IME / ITA ⇒ (IME 1964) Geometria Plana Tópico resolvido

[victoria]

Provar que, em qualquer trapézio, a soma do quadrado das diagonais é igual à soma do quadrado do lado não paralelo mais o dobro do produto das bases.

[triplebig]

um trapézio tem dois lados nao paralelos nao? vc quis dizer a soma dos quadrados dos lados nao paralelos? Ou o trapezio é simetrico?

[victoria]

Pois é, triplebig,o enunciado está exatamente dessa forma, não entendi e resolvi postar aqui no fórum porque não sei como montar o problema.

Obrigada.

[FilipeCaceres]

Olá Vitória,

Dica:
Relação de Euler: " Num quadrilátero qualquer a soma dos quadrados dos 4 lados é igual à soma dos quadrados das diagonais mais quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais."

Seja a,b,c,d os lados e p,q as diagonais e m distância dos pontos médios das diagonais. Sendo assim temos:
[tex3]a^2+b^2+c^2+d^2=p^2+q^2+4m^2[/tex3]

Observação:
Nos trapézios a distâncias entre as diagonais é [tex3]\frac{B-b}{2}[/tex3], onde B,b são as bases.

Agora deixo para você pensar.

Abraço.

[ALDRINMOD]

A soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos lados não paralelo mais o dobro do produto das bases.

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[tex3](d_1)^2=b^2+c^2+2bx[/tex3]
[tex3](d_2)^2=b^2+d^2+2by[/tex3]
[tex3](d_1)^2+(d_2)^2=2b^2+c^2+d^2+2b(x + y)[/tex3]

como [tex3]x+y =a-b[/tex3]

[tex3](d_1)^2+(d_2)^2=2b^2+c^2+d^2+2b(a-b)[/tex3]
[tex3](d_1)^2+(d_2)^2=2b^2+c^2+d^2+2ab-2b^2[/tex3]
[tex3](d_1)^2+(d_2)^2=c^2+d^2+2ab[/tex3]

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Fazendo a solução do @FilipeCaceres

Seja B (base maior), b (base menor), L (lado oblíquo maior), l (lado oblíquo menor), p (diagonal maior), q (diagonal menor)

[tex3]B^2+b^2+l^2+L^2=p^2+q^2+4\left(\frac{B-b}{2}\right)^2\rightarrow B^2+b^2+l^2+L^2=p^2+q^2+B^2-2Bb+b^2 \\ L^2+l^2+2Bb=p^2+q^2 \\
\\ cqd[/tex3]

Extremamente direto com a Relação de Euler

Também sai por Lei dos Cossenos e muita álgebra