IME / ITA ⇒ Geometria plana

[TimóteoCruz]

Na figura a seguir, AE = 2 · EB, AD = 2 cm e DP = 5 cm. Determine

Resposta

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(14√5)÷5

a medida do segmento PB.

[Klaus6699]

área ficou dividida em 28 e 7 entt Pb é 4 vezes Bc, entt por potência de ponto [tex3]7^{2}[/tex3]é igual 5k multiplicado 4k , onde PB é igual 4k

[TimóteoCruz]

@TimóteoCruz,
O segmento total PA = AD + DP = 2 + 5 = 7.
Como PA é tangente e PBC é secante:[tex3] PA^2 = PB \cdot PC \implies 7^2 = PB \cdot PC \implies \mathbf{PB \cdot PC = 49}[/tex3]
[tex3]AE = 2 \cdot EB \implies \mathbf{\frac{AE}{EB} = 2}[/tex3]
Teorema de Menelaus
[tex3]\triangle PAB-DC : [/tex3] [tex3]\frac{AD}{DP} \cdot \frac{PC}{CB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1\\
Substituindo :AD = 2;DP = 5; \frac{BE}{EA} = \frac{1}{2} (AE = 2EB)\\
\frac{2}{5} \cdot \frac{PC}{CB} \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies\frac{1}{5} \cdot \frac{PC}{CB} = 1 \implies \mathbf{PC = 5 \cdot CB}[/tex3]
PC = PB + BC (ou PB + CB).
Substituindo:[tex3] PC = 5 \cdot CB \implies 5 \cdot CB = PB + CB \implies 4 \cdot CB = PB \implies \mathbf{CB = \frac{PB}{4}}[/tex3]
[tex3]PC = PB + \frac{PB}{4} = \mathbf{\frac{5 \cdot PB}{4}}[/tex3]
[tex3]PB \cdot PC = 49:\\PB \cdot \left( \frac{5 \cdot PB}{4} \right) = 49 \implies \frac{5 \cdot PB^2}{4} = 49 \implies5 \cdot PB^2 = 196\\PB^2 = \frac{196}{5} \implies PB = \sqrt{\frac{196}{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}}\\
\therefore \boxed{PB = \frac{14\sqrt{5}}{5}}[/tex3]