IME / ITA ⇒ (ITA - 1973) Geometria Plana: Triângulos e Dobraduras Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A base AB, de uma folha de papel triangular que está sobre uma mesa, mede 12 cm. O papel é dobrado levantando-se sua base, de modo que a dobra fique paralela à mesma. A área da parte do triângulo que fica visível após o papel ter sido dobrado vale 0,30 da área do triângulo ABC. O comprimento da dobra vale:

a) 9,6 cm.
b) 9,4 cm.
c) 10 cm.
d) 8 cm.
e) N.D.A.

[fabit]

Estou estranhando um pouco o valor 0,30. Minha intuição diz que deveriam ter escolhido um quadrado "perfeito" como 0,36 ou algo parecido. Vamos ver se é isso mesmo...

Destaco os triângulos semelhantes CMN (visível), CPQ (PQ//MN//AB) onde PQ é a dobra que buscamos, e CAB com AB=12.

Usando a notação do Eduardo Wagner, (CMN)=0,3.(CAB). Então [tex3]MN=\sqrt{0,3}AB=12\sqrt{0,3}[/tex3]

Como ABPQ (ou ABQP, conforme seja sua figura, tanto faz) é um trapézio com PQ sendo sua base média, temos [tex3]PQ=\frac{AB+MN}{2}=\frac{12+12\sqrt{0,3}}{2}=6+6\sqrt{0,3}=6+\sqrt{36\times0,3}=6+\sqrt{10,8}[/tex3]

Como [tex3]\sqrt{10}\approx3,16[/tex3], acho que [tex3]\sqrt{10,8}\approx3,16+0,8\times\frac{1}{2\times3,16}=3,16+\frac{1}{6,32}\approx3,16+0,16=3,32[/tex3]

Fica 6+3,32=9,32.

Marco letra B, mas pode ser N.D.A.=E

[petrasMOD]

GH = x
Antes de dobrar: Você tem o triângulo total ABC. A área total é $_ABC.
O Triângulo do topo(A'B'C)
Ao definir a dobra GH, você cria o triângulo GHC (que não se move) e o trapézio ABHG (que será levantado).
Após dobrar: Você pega o trapézio ABHG e o vira para cima, cobrindo parte do triângulo GHC.
Quando você dobra o trapézio para cima, ele "some" da parte de baixo e "tampa" uma parte do triângulo de cima (GHC).
A área que o trapézio cobre lá no topo é exatamente igual à área que ele tinha quando estava na mesa.
Área Visível = (Área que restou no topo) - (Área que foi coberta pelo trapézio).
Como a área do trapézio é [tex3]Area_{total} - Area_{GHC}[/tex3]

[tex3]Area_{Visível} = Area_{GHC} - (Area_{total} - Area_{GHC}) = 2 \cdot Area_{GHC} - Area_{total}[/tex3]

Aplicando os 30% do enunciado:[tex3]0,30 \cdot Area_{total} = 2 \cdot Area_{GHC} - Area_{total}\\1,30 \cdot Area_{total} = 2 \cdot Area_{GHC}\\\frac{Area_{GHC}}{Area_{total}} = \frac{1,30}{2} = 0,65[/tex3]

[tex3]\triangle ABC \sim \triangle CGH: (\frac{x}{AB})^2 =(\frac{S_{GHC}}{S_{ABC}}) \\
\left(\frac{x}{12}\right)^2 = 0,65 \implies \frac{x^2}{144} = 0,65 \implies x^2 = 93,6 \implies \boxed{x \approx 9,6}[/tex3]