Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido

[Cláudio02]

Determine todos os pares [tex3](x,y)[/tex3] de inteiros positivos tais que [tex3](x-y-1)(x+3)=2010[/tex3].

[Cássio]

Calcule os divisores de 2010. Note que x+3 tem que ser um divisor. Faça todos os casos possíveis.

[RafaeldeLima]

Olá Cláudio02,

Note que [tex3](x-y-1)(x+3) = 2010 = 2.3.5.67[/tex3]

Há dois casos possíveis:

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 > x + 3 \ \ \ \ \ \boxed{i}\\ x - y - 1 < x + 3 \ \ \ \ \ \boxed{ii} \end{cases}[/tex3]

Para o caso i:

[tex3]x - y - 1 > x + 3 \\ \\ - y - 1 > 3 \\ \\y < -4 \ \ \ \ [/tex3] Não serve, pois há a restrição de [tex3]y > 0[/tex3]

Para o caso ii:

[tex3]y > -4[/tex3]

O que não acrescenta informação alguma, apenas reduz o número de casos possíveis.

Logo, as maneiras possíveis são:

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 2.3.5 \\ x + 3 = 67 \\ \\ \boxed{(x,y) = (64,33)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 2.3\\ x + 3 = 5.67\\ \\ \boxed{(x,y) = (332,325)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 2.5\\ x + 3 = 3.67\\ \\ \boxed{(x,y) = (198,187)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 3.5\\ x + 3 = 2.67 \\ \\ \boxed{(x,y) = (131,115)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 2\\ x + 3 = 3.5.67 \\ \\ \boxed{(x,y) = (1002,999)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 3 \\ x + 3 = 2.5.67 \\ \\ \boxed{(x,y) = (667,663)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 5\\ x + 3 =2.3.67 \\ \\ \boxed{(x,y) = (399,393)}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}x - y - 1 = 1\\ x + 3 = 2010\\ \\ \boxed{(x,y) = (2007,2005)}\end{cases}[/tex3]