Olimpíadas ⇒ (AIME-2002) Análise Combinatória Tópico resolvido

[ttbr96]

quaisquer dois vértices pode-se fazer três quadrados, ou seja, dois com os vértices formando um lado, outro com os vértices formando a diagonal.

[csmarceloMOD]

Olá gabriel.

Desculpe demorar tanto em responder, mas as coisas estão muito corridas para mim e esse problema realmente me "tirou o sono".

Antes de tudo, parabéns para o ttbr96, pois foi ele quem matou a charada. Estou apenas detalhando a explicação, na tentativa de que você compreenda o que ele quis dizer.

Note que quaisquer dois vértices pode-se fazer três quadrados.

Cada combinação de vértices pode formar, além dos lados de dois quadrados, como eu havia mencionado, a diagonal de um quadrado único! Isso passou totalmente desapercebido por mim.

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Assim, como o ttbr96 falou, teremos, a princípio, [tex3]3\cdot C^{12}_2=198[/tex3] quadrados.

E aí entramos na questão dos quadrados em excesso que, apesar de eu também ter percebido, calculei incorretamente.

Não compreendi essa parte na explicação do ttbr96 , mas imagino que ele quis dizer o seguinte:

Dos 198 quadrados, teremos 12 formados por 4 vértices do dodecágono. Repare, por exemplo, no quadrado [tex3]FILC[/tex3] da imagem postada por nosso amigo.

Esse quadrado será um dos quadrados formados por seis combinações de vértices: [tex3]FI[/tex3], [tex3]IL[/tex3], [tex3]LC[/tex3], [tex3]CF[/tex3], [tex3]FL[/tex3] e [tex3]IC[/tex3].

Dessa forma, devemos descartar um dos quadrados formados por cinco dessas combinações, visto que resultarão no mesmo quadrado [tex3]FILC[/tex3] da primeira.

E o mesmo raciocínio se aplica para os quadrados [tex3]GJAD[/tex3] e [tex3]HKBE[/tex3].

Assim, no final, teremos que descartar [tex3]5\cdot3=15[/tex3] quadrados.