Olimpíadas ⇒ Quantidade (Q) de Algarismos na sucessão dos Naturais Tópico resolvido

[Profeta25]

Questão:
Generalize, em N, a expressão que permite-nos determinar o número de algarismos necessários para escrevermos todos os números de:

a) n algarismos , a partir de 1;
b) 0 até [tex3]10^{n}[/tex3](exclusive)

Será que alguém poderia me ajudar nesta questão? Desde já eu agradeço.

[undefinied3]

a)
Enquanto escrevemos números com apenas uma casa decimal, usamos 1 algarismo por número.
Enquanto escrevemos números com duas casas decimais, usamos 2 algarismos por número
...
Enquanto escrevemos números com t casas decimais, usamos t algarismos por número.

Se quisermos escrever todos os números de 1 até 9, usamos 1*9=9 algarismos.
Se quisermos escrever todos os números de 10 até 99, usamos 2*(99-10+1)=180 algarismos
Se quisermos escrever todos os números de 100 até 999, usamos 3*(999-100+1)=2700 algarismos
...
Se quisermos escrever todos os números de [tex3]10^x[/tex3] até [tex3]10^{x+1}-1[/tex3], usamos [tex3](x+1)(10^{x+1}-1-10^x+1)=9(x+1).10^x[/tex3] algarismos.

Então pra escrever todos os números de n algarismos a partir de 1, temos que:
[tex3]S=9(0+1).10^0+9(1+1).10^1+9(2+1).10^2+...9(n-1+1).10^{n-1}[/tex3]
[tex3]S=9.10^0+9.2.10^1+9.3.10^2+...9.n.10^{n-1}[/tex3]
Não é exatamente uma PG mas podemos manipular essa expressão. Veja:
[tex3]10S=9.10^1+9.2.10^2+...+9.n.10^n[/tex3]
Subtraindo essa da outra, acontece o seguinte:
[tex3]-9S=9.10^0+9.1.10^1+9.1.10^2+..+9.1.10^{n-1}-9.n.10^n[/tex3]
[tex3]S=n.10^n-(1+10+100+..+10^{n-1})=n.10^n-\frac{10^{n}-1}{9}[/tex3]
[tex3]\therefore S=\frac{(9n-1)10^n+1}{9}[/tex3]

b)
De 0 até 9 usa-se 10 algarismos
De 10 até 99 usa-se 180 algarismos
De 100 até 999 usa-se 2700 algarismos
...
É a mesma coisa do anterior, só que agora começamos do 0 e não do 1, então precisamos somar 1 no resultado anterior.
[tex3]\therefore S=\frac{(9n-1)10^n+10}{9}[/tex3]