Olimpíadas ⇒ (Alemanha) Imagem da função Tópico resolvido

[Gu178]

Qual é o conjunto imagem da função f real definida em [tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3], tal que [tex3]f(x)=\sqrt{(2-\sqrt{3}^{x})}+\sqrt{(2+\sqrt{3}^{x})}-2[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]2-\sqrt{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}[/tex3]

[tex3]f(x)=(\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})^x+(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2})^x-2[/tex3]

Agora a visão é um pouco mais difícil, mas veja que [tex3]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=1[/tex3], então [tex3](\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=1[/tex3] e, portanto [tex3]2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=2[/tex3]

Então novamente aparece um quadrado perfeito na expressão.

[tex3]f(x)=(\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})^x+(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2})^x-2(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}*(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{\frac{x}{2}}=((\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^\frac{x}{2}-(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^\frac{x}{2})^2[/tex3]
Então f(x) é um quadrado perfeito e portanto é estritamente positiva. O zero não entra no conjunto imagem porque o termo que está sendo elevado ao quadrado nunca é zero, visto que é a soma de funções exponenciais.

[Gu178]

Obrigado amigo, ajudou muito.

[petrasMOD]

undefinied, não entendi a questão. Se x = 0 teremos [tex3]\sqrt{1}+ \sqrt{1}-2=0[/tex3] portanto a função está definida em 0 e a resposta do enunciado o 0 está incluso. Poderia esclarecer?

[undefinied3]

A função é definida em R+ pelo enunciado, então a resolução continua valendo. Eu que me equivoquei e fiquei na cabeça que ali dentro do quadrado final, era uma soma e não uma diferença. De fato, se permitir x=0, podemos ter uma imagem com zero.

[petrasMOD]

Entendido.

[cajuADMIN]

Olá undefinied3,

A função do enunciado está definida em [tex3]\mathbb{R}_{+}[/tex3], que significa todos reais não negativos.

Ou seja, o ZERO está definido no domínio da função e, com a sua resolução, também estará no conjunto imagem.

Grande abraço,
Prof. Caju

[undefinied3]

Mais uma vez, total falta de atenção minha. Obrigado pela correção, professor.