Olimpíadas ⇒ (IMO 1959) Equação do Segundo Grau Tópico resolvido

[goncalves3718]

Para quais valores reais de [tex3]x[/tex3] a expressão abaixo é verdadeira, onde apenas números reais positivos são admitidos para as raízes quadradas ?

[tex3]\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A[/tex3]

Dados a) [tex3]A=\sqrt{2}[/tex3] , b) [tex3]A=1[/tex3] e c) [tex3]A=2[/tex3]

Meu racíocinio:

Sendo = [tex3]\sqrt{2x-1=}y[/tex3]

[tex3]\sqrt{ x +y}+\sqrt{x-y}=A [/tex3]
[tex3]x+y + 2\cdot\sqrt{x+y}\cdot\sqrt{x-y}+x-y= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{(x+y)(x-y)}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt {x^2-y^2}=A^2[/tex3]

Substituindo [tex3]y[/tex3]:

[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2 - (\sqrt{2x-1})^2}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2- (2x-1)}= A^2[/tex3]
[tex3]2x+ 2\cdot \sqrt{x^2- 2x+1}=A^2[/tex3]
[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2[/tex3]
[tex3]2[x +(x-1)]\implies 2(2x-1)= A^2[/tex3]

Para [tex3]A= \sqrt{2}[/tex3] :

[tex3]2x-1=1\implies \boxed {x=1}[/tex3]

Minha pergunta, porque o gabarito da letra a é [tex3]x \in [\frac{1}{2},1][/tex3] ?

[MateusQqMDMOD]

"Minha pergunta, porque o gabarito da letra a é [tex3]x \in [\frac{1}{2},1][/tex3] ?"

Veja você mesmo:

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fonte: International Mathematical Olympiads 1959-1977, Samuel Greitzer

[MateusQqMDMOD]

Tenho quase certeza que já comentaram esse problema aqui no fórum, mas não consegui encontrar a mensagem.

[goncalves3718]

Não entendi, pode ser mais detalhado por favor?

[MateusQqMDMOD]

O seu erro está na passagem:

[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2 \\ 2[x +(x-1)]\implies 2(2x-1)= A^2[/tex3]

O correto é

[tex3]2(x+ \sqrt{(x-1)^2}= A^2 \\ 2[x +|x-1|] = A^2 \implies ..[/tex3]

Daí o restante é uma equação modular.

[goncalves3718]

Isso porque [tex3]x[/tex3] é sempre positivo?

[MateusQqMDMOD]

Não.

Para [tex3]m \in \mathbb{R},[/tex3] tem-se sempre que [tex3]\sqrt{m^2} = |m|.[/tex3]

[goncalves3718]

Ainda não entendi a resolução dessa equação modular, poderia resolvê-la?

[MateusQqMDMOD]

Tranquilo.

Continuarei a resolução a partir de [tex3]x + |x-1| = 1.[/tex3]

Note que

[tex3]|x-1| = \begin{cases}\begin{aligned}
x -1, \,\, \text{se} \, x \geq 1 \\
-x +1, \,\, \text{se} \, x < 1
\end{aligned}\end{cases}.[/tex3]

[tex3]\bullet \,\,\, x + (x -1) = 1 \,\,\Leftrightarrow \,\, x =1;[/tex3] como a condição [tex3]x \geq 1[/tex3] é satisfeita, então este caso possui solução [tex3]x = 1[/tex3] (única).

[tex3]\bullet \,\,\, x + (-x +1) = 1 \,\,\Leftrightarrow \,\, 1 =1;[/tex3] ou seja, a igualdade é sempre satisfeita para qualquer valor de [tex3]x < 1.[/tex3] Mas, da condição de existência do radicando [tex3](x\geq 1/2),[/tex3] os valores de [tex3]x[/tex3] que nos interessam são [tex3]1/2 \leq x < 1.[/tex3]

Portanto, para [tex3]A = \sqrt{2},[/tex3] a interseção dos casos é [tex3]1/2 \leq x \leq 1.[/tex3]

[goncalves3718]

Agora sim entendi! Muitíssimo obrigado e me perdoe por tantas perguntas!