Olimpíadas ⇒ Sequência - Titu Andreescu Tópico resolvido

[Hanon]

Considere a sequência:
[tex3]a_n=\sqrt{1+\(1+\frac1n\)^2}+\sqrt{1+\(1-\frac1n\)^2}, \ \ n\in \mathbb{N}[/tex3]
Prove que [tex3]\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{20}}[/tex3] é um inteiro.

[undefinied3]

[tex3]\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2}+\sqrt{1+(1-\frac{1}{n}})^2}[/tex3]

Racionalizando:

[tex3]\frac{1}{a_n}=\frac{\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2}-\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2}}{1+(1+\frac{1}{n})^2-1-(1-\frac{1}{n})^2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a_n}=\frac{\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2}-\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2}}{\frac{4}{n}}=\frac{n(\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2}-\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2})}{4}[/tex3]

Colocando o n dentro das raízes:

[tex3]\frac{1}{{a_n}}=\frac{\sqrt{n^2+(n+1)^2}-\sqrt{n^2+(n-1)^2}}{4}=\frac{b_{n}-b_{n-1}}{4}[/tex3]

E pronto, apareceu a telescópica.

[tex3]S=\frac{b_1-b_0+b_2-b_1+...+b_{20}-b_{19}}{4}=\frac{-b_0+b_{20}}{4}=\frac{-\sqrt{0^2+1^2}+\sqrt{20^2+21^2}}{4}=\frac{-1+29}{4}=7[/tex3]