Olimpíadas ⇒ (Olimpíada do Leningrado 1990) - Divisibilidade Tópico resolvido

[goncalves3718]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números naturais tais que [tex3]b^2+ba+1|a^2+ab+1[/tex3]. Prove que [tex3]a=b[/tex3].

Resposta

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Limitação:

[tex3]b^2+ba+1 \leq a^2+ab+1 \implies b\leq a[/tex3]

Não consigo prosseguir

[Ittalo25MOD]

Uma boa ideia é sempre tentar diminuir o grau do numerador.
No caso dessa questão:

[tex3]b^2+ab+1 | a^2+ab+1 [/tex3]
[tex3]b^2+ab+1 | b\cdot (a^2+ab+1) - a\cdot (b^2+ab+1) [/tex3]
[tex3]b^2+ab+1 | b-a [/tex3]

Então: [tex3]b^2+ab+1 \leq |b-a| [/tex3] ou [tex3]b-a=0 [/tex3]
como você já viu [tex3]b\leq a[/tex3], então:

[tex3]b^2+ab+1 \leq a-b [/tex3]
[tex3]2b^2+1 \leq (a-b)\cdot (1-b) [/tex3]
O lado esquerdo é positivo, então o lado direito também deve ser:
[tex3]1-b > 0 \rightarrow b =0[/tex3]
Aí fica aquela polêmica de o zero ser natural ou não.
Mas se b=0, então ficaria [tex3]1|a^2+1[/tex3], que é válido para qualquer valor de a.

Agora se b>0, o único jeito de [tex3]b^2+ab+1 | b-a [/tex3] acontecer é se a=b