Olimpíadas ⇒ (POTI N2) Problema 5 - Aula 11 - Equação Funcional Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja [tex3]f [/tex3] uma função com duas propriedades:

[tex3]I. \,f(x + y) = x + f(y), ∀x, y ∈ \mathbb{R};[/tex3]
[tex3]II. \, f(0) = 2[/tex3]

Determine o valor de [tex3]f(2012)[/tex3].

[goncalves3718]

Sendo [tex3]x=1[/tex3] e [tex3]y=0[/tex3], temos:

[tex3]f(1) = 1 + f(0) \implies f(1) = 1 + 2 \implies \boxed{f(1)=3}[/tex3]

Com apenas [tex3]y=1[/tex3], obtemos:

[tex3]f(x+1) = x + f(1) \implies f(x+1) = x +3[/tex3]

Logo [tex3]f(2011+1) = 2011+3 \implies \boxed{f(2012) = 2014}[/tex3]

Outra solução:

Pela solução anterior [tex3]f(1)=3[/tex3]

[tex3]f(1+1) = 1+f(1) \implies f(2) = 1+f(1)[/tex3]
[tex3]f(1+2) = 1 + f(2) \implies f(3) = 1 + f(2)[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
[tex3]f(1+2010) = 1+f(2010) \implies f(2011) = 1 + f(2010)[/tex3]
[tex3]f(1+2011) = 1 + f(2011) \implies f(2012) = 1 + f(2011)[/tex3]

Somando:

[tex3]f(2)+f(3)+\cdots f(2011)+f(2012) = \underbrace{1+1+\cdots 1}_{\text{2011 vezes}} + f(1) + f(2) + \cdots+ f(2010) + f(2011)[/tex3]
[tex3]f(2012) = 2011 + f(1) [/tex3]
[tex3]\boxed{f(2012) = 2011+3 = 2014}[/tex3]