Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 2001) Funções Tópico resolvido

[matbatrobin]

Suponha que a função [tex3]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3] satisfaz [tex3]f(xy)=xf(y)+yf(x)[/tex3] para todo [tex3]x,\,y\,\in \mathbb{R}[/tex3]. Prove que [tex3]f(1)=0[/tex3] e que [tex3]f(u^n)=nu^{n-1}[/tex3] para todo [tex3]n[/tex3] natural e [tex3]u[/tex3] real.

[triplebig]

(1) [tex3]f(1 \cdot 1) = 1 \cdot f(1) + 1 \cdot f(1) \iff f(1) = 0[/tex3]

(2) Prova por indução:

[tex3]f(u^2)=f(u\cdot u)=u\cdot f(u)+u\cdot f(u)=2u\cdot f(u)\\
f(u^3)=f(u^2\cdot u)=u\cdot f(u^2)+u^2\cdot f(u)=3u^2\cdot f(u)\\
\vdots\\
f(u^n)=n\cdot u^{n-1}\cdot f(u)\,\Right\,\text{hipotese}[/tex3]

(2.1) Para [tex3]n=1[/tex3] :

[tex3]f(u^1) = 1 \cdot u^{1-1} \cdot f(u) \iff f(u) = f(u)[/tex3]

(2.2) Para [tex3]n=k[/tex3] :

[tex3]f(u^k)=k\cdot u^{k-1}\cdot f(u)[/tex3]

(2.3) Para [tex3]n=k+1[/tex3] :

[tex3]f(u^{k+1})=(k+1)\cdot u^k\cdot f(u)[/tex3]

Por outro lado:

[tex3]\begin{array}{rl}f(u^{k+1})=&f(u\cdot u^k)\\
=&u^k\cdot f(u)+u\cdot f(u^k)\\
=&u^k\cdot f(u)+u\cdot(k\cdot u ^{k-1}\cdot f(u))\\
=&u^k\cdot f(u)+k\cdot u^k\cdot f(u)\\
=&(k+1)\cdot u^k\cdot f(u)
\end{array}[/tex3]

E está provado.