Olimpíadas ⇒ (AIME - 1989) Conjectura de Euler Tópico resolvido

[Thadeu]

Uma das conjecturas de Euler foi refutada nos anos [tex3]60[/tex3] por três matemáticos americanos quando eles mostraram que existe um inteiro positivo [tex3]n[/tex3] tal que

• [tex3]133^5\,+\,110^5\,+\,84^5\,+27^5\,=\,n^5[/tex3]

Calcule o valor de [tex3]n.[/tex3]

[AnthonyC]

Queremos achar [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3], tal que [tex3]133^5\,+\,110^5\,+\,84^5\,+27^5\,=\,n^5[/tex3]. Pra isso, utilizaremos conhecimento de aritmética modular. Primeiro, encontramos os limites de [tex3]n[/tex3]:
[tex3]110^5+84^5+27^5>0[/tex3]
[tex3]133^5+110^5+84^5+27^5>133^5[/tex3]
[tex3]n^5>133^5[/tex3]
[tex3]n>133[/tex3]

Também temos que:
[tex3]n^5<133^5+133^5+133^5+133^5[/tex3]
[tex3]n^5<4\cdot133^5[/tex3]
[tex3]n^5<4\cdot133^5<32\cdot133^5[/tex3]
[tex3]n^5<2^5\cdot133^5[/tex3]
[tex3]n^5<(2\cdot133)^5[/tex3]
[tex3]n<266[/tex3]
Assim, [tex3]133< n<266 [/tex3]. Agora, vamos utilizar aritmética modular. Para isso, utilizaremos a seguinte propriedade.

Se [tex3]a\equiv b(\mod n)[/tex3], então [tex3]a^k\equiv b^k(\mod n)[/tex3] para todo [tex3]k[/tex3] inteiro não-negativo

Vamos verificar a congruência de [tex3]n^5[/tex3] por 2,3,5 e 7.
[tex3]133\equiv1(\mod 2)\implies133^5\equiv1(\mod 2)[/tex3]
[tex3]110\equiv0(\mod 2)\implies110^5\equiv0(\mod 2)[/tex3]
[tex3]84\equiv0(\mod 2)\implies84^5\equiv0(\mod 2)[/tex3]
[tex3]27\equiv1(\mod 2)\implies27^5\equiv1(\mod 2)[/tex3]
[tex3]n^5\equiv 1+0+0+1=2\equiv0(\mod2)[/tex3]
Ou seja, [tex3]2[/tex3] divide [tex3]n^5[/tex3]. Mas se um número primo divide uma potência, então ele também divide sua base. Portanto, [tex3]n[/tex3] é múltiplo de [tex3]2[/tex3].

[tex3]133\equiv1(\mod 3)\implies133^5\equiv1(\mod 3)[/tex3]
[tex3]110\equiv-1(\mod 3)\implies110^5\equiv-1(\mod 3)[/tex3]
[tex3]84\equiv0(\mod 3)\implies84^5\equiv0(\mod 3)[/tex3]
[tex3]27\equiv0(\mod 3)\implies27^5\equiv0(\mod 3)[/tex3]
[tex3]n^5\equiv 1-1+0+0\equiv0(\mod3)[/tex3]
Análogo ao caso anterior, [tex3]n[/tex3] é múltiplo de [tex3]3[/tex3].

[tex3]133\equiv3(\mod 5)\implies133^5\equiv3(\mod 5)[/tex3]
[tex3]110\equiv0(\mod 5)\implies110^5\equiv0(\mod 5)[/tex3]
[tex3]84\equiv4(\mod 5)\implies84^5\equiv4(\mod 5)[/tex3]
[tex3]27\equiv2(\mod 5)\implies27^5\equiv2(\mod 5)[/tex3]
[tex3]n^5\equiv 3+0+4+2=9\equiv4(\mod5)[/tex3]
Temos que [tex3]n^5\equiv4(\mod5)[/tex3]. Verificando os possíveis restos na divisão por 5 e suas quinta potências, vemos que a única possibilidade é [tex3]n\equiv4(\mod 5)[/tex3]

[tex3]133\equiv0(\mod 7)\implies133^5\equiv0(\mod 7)[/tex3]
[tex3]110\equiv5(\mod 7)\implies110^5\equiv3(\mod 7)[/tex3]
[tex3]84\equiv0(\mod 7)\implies84^5\equiv0(\mod 7)[/tex3]
[tex3]27\equiv-1(\mod 7)\implies27^5\equiv-1(\mod 7)[/tex3]
[tex3]n^5\equiv 0+3+0-1\equiv2(\mod7)[/tex3]
Temos que [tex3]n^5\equiv4(\mod7)[/tex3]. Verificando os possíveis restos na divisão por 7 e suas quinta potências, vemos que a única possibilidade é [tex3]n\equiv4(\mod 7)[/tex3].

Assim, sabemos que [tex3]n[/tex3] é múltiplo de [tex3]2[/tex3] e [tex3]3[/tex3], sendo portanto múltiplo de 6, e deixa resto 4 na divisão por 5 e 7. Lembrando que [tex3]133< n<266[/tex3], podemos construir a lista de múltiplos de 6 entre 133 e 266:
[tex3]n\in\{138,144,150,162,...,246,252,258,264\}[/tex3]
Verificando qual destes números possuí simultaneamente resto 4 por 5 e 7, encontramos como única possibilidade [tex3]n=144[/tex3]