Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência Tópico resolvido

[matbatrobin]

Considere o desenvolvimento de

• [tex3]P(x)=(x+1)^{10}+(x+1)^{11}+...+(x+1)^{100}[/tex3]

Como polinômio em potências de [tex3]x[/tex3]. Encontre nesse desenvolvimento o coeficiente de
a)[tex3]x^2[/tex3].
b)[tex3]x^{98}[/tex3].

[Auto Excluído (ID:3002)]

Primeiro observe que:
[tex3](x+1)^n=\sum_{p=0}^{n} \left(\begin{array}{c} n \\ p \end{array}\right) \cdot x^p[/tex3]
Logo o coeficiente de [tex3]x^2[/tex3] é: [tex3]\left(\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}\right)[/tex3] e o coeficiente de [tex3]x^{98}[/tex3] é: [tex3]\left(\begin{array}{c} n \\ 98 \end{array}\right)[/tex3]

a) Assim o coeficiente de [tex3]x^2[/tex3] de [tex3]P[/tex3] vale:
[tex3]\left(\begin{array}{c} 10 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 11 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 100 \\ 2 \end{array}\right)=[/tex3]
[tex3]\[\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 100 \\ 2 \end{array}\right) \]-\[ \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 9 \\ 2 \end{array}\right) \][/tex3]
Pelo teorema das colunas temos:
[tex3]\left(\begin{array}{c} 101 \\ 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 10 \\ 3 \end{array}\right)=\frac{101!}{3!98!}-\frac{10!}{3!7!}=\frac{101 \cdot 100 \cdot 99}{3 \cdot 2}-\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2}=166530[/tex3]

b) Assim o coeficiente de [tex3]x^{98}[/tex3] de [tex3]P[/tex3] vale:
[tex3]\left(\begin{array}{c} 98 \\ 98 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 99 \\ 98 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 100 \\ 98 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 101 \\ 99 \end{array}\right)=\frac{101!}{99!2!}=\frac{101 \cdot 100}{2}=5050[/tex3]