Olimpíadas ⇒ (OCM) Geometria Espacial: Cones Tópico resolvido

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Considere um cone circular reto cuja geratriz mede 3cm e cujo raio da base mede 1cm.

a) Seja P um ponto fixo da circunferência da base e C a curva, de menor comprimento, na superfície do cone que partindo de P, dá uma única volta completa sobre o cone e retorna novamente para o ponto P. Determine o comprimento de C.

b) Seja P um ponto sobre a circunferência da base e o menor caminho de P ao redor do cone e voltando para P é desenhado. Qual é a distância mínima do vértice V a esse caminho?

Resposta

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a) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
b) 3/2

[παθμ]

a) [tex3]g=3,[/tex3] [tex3]r=1[/tex3].

Se a superfície do cone for planificada, obtemos um setor circular de raio [tex3]g=3[/tex3] e com abertura [tex3]\theta[/tex3] tal que:

[tex3]2\pi g \times \frac{\theta}{2\pi}=2\pi r \Longrightarrow \theta=\frac{2\pi}{3} \; \text{rad}=120\degree.[/tex3]

Vamos fazer essa planificação fazendo o corte ao longo da geratriz que contém o ponto P. Dessa forma, na mesma planificação, o ponto P "existe" nas duas posições distintas abaixo:

Screenshot 2023-10-15 155202.png (124.9 KiB) Exibido 827 vezes

O menor caminho que sai do ponto P, faz uma volta completa no cone e retorna, deve ser uma linha reta na planificação. Essa reta une as duas instâncias do ponto P. Ou seja, obtemos um triângulo isósceles de ângulo do vértice [tex3]120 \degree[/tex3] e lado isósceles [tex3]3.[/tex3]

Sendo [tex3]x[/tex3] o comprimento da base, temos [tex3]\sin(60\degree)=\frac{x/2}{3} \Longrightarrow x=\boxed{3\sqrt{3} \; \text{cm}} [/tex3]

b) A distância mínima do caminho ao vértice é a altura [tex3]h[/tex3] do triângulo. [tex3]\cos(60\degree)=\frac{h}{3} \Longrightarrow h=\boxed{\frac{3}{2} \; \text{cm}}[/tex3]