Olimpíadas ⇒ OBM (1999) - Geometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

Um pentágono regular está inscrito em uma circunferência. Dentro do pentágono há um pentagrama ligado ao seus vértices. Calcule a área do pentágono menor formado pelo pentagrama, sabendo que a medida do raio da circunferência (R) é igual a 5cm.

[aleixoreis]

Prezado theblackmamba:
Seja:
L...lado do pentágono maior
l...lado do pentágono menor
S...área do pentágono maior.
s...área do pentágono menor.
Existem as seguintes relações:[tex3]\frac{L}{l}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2[/tex3] e [tex3]\frac{S}{s}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4}[/tex3]
Se vc achar a área do pentágono maior em função do raio épossível achar a área do pentágono menor.

[ ]'s.

[FelipeMartinMOD]

A área do pentágono menor é dada pela fórmula:

[tex3]S = 5R^2 \tg(36^{\circ}) \cos^2(72^{\circ})[/tex3]

[tex3]\cos (72^{\circ}) = \frac{1+\sqrt5}4 \implies \cos^2(72^{\circ}) = \frac{3+\sqrt5}{8}[/tex3]

[tex3]\tg(36^{\circ}) = \sqrt{5-2\sqrt5}[/tex3]

[tex3]S = \frac{125}8 \cdot \sqrt{5-2\sqrt5} \cdot (3+\sqrt5) [/tex3]

como [tex3] \sqrt{5-2\sqrt5} \cdot (3+\sqrt5) = \sqrt{(5-2\sqrt5)(3+\sqrt5)^2} = \\ = \sqrt{(5-2\sqrt5)(14+6\sqrt5)} = \sqrt{10+2\sqrt5}[/tex3]

[tex3]S = \frac{125}8 \sqrt{10+2\sqrt5}[/tex3]