Olimpíadas ⇒ (Cone Sul - 1996) Sequências Tópico resolvido

[theblackmamba]

Considere a sequência de números reais postivos [tex3]a_0,a_1,a_2....[/tex3] definida por: [tex3]a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}[/tex3] para todo [tex3]n\geq 0[/tex3]. Mostre que para qualquer valor de [tex3]a_0[/tex3], sempre se tem [tex3]a_{1996}>63[/tex3].

[FelipeMartinMOD]

por desigualdade das médias, [tex3]a_ n \geq 2[/tex3] para todo [tex3]n \geq 1[/tex3].

[tex3]a_{n+1} - a_n = \frac1{a_n} \implies a_{m+1} - a_0 = \sum_{n=0}^m \frac1{a_m}[/tex3] me leva a crer que [tex3]a_n = \mathcal{O}(\sqrt n)[/tex3].

É claro que [tex3]a_{n+1} > a_n[/tex3] sempre, logo, [tex3]\frac1{a_n} > \frac1{a_{n+1}}[/tex3]

De fato: [tex3]a\sqrt{n+1} - a\sqrt{n} = \frac a{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac1{a\sqrt{n}} \implies a^2 \approx 2 \implies a_n \approx \sqrt{2n}[/tex3] deve ser o nosso objetivo.

Agora, como [tex3]a_1 \geq 2[/tex3], podemos supor que [tex3]a_n \geq \sqrt{n}[/tex3] para [tex3]n \geq 1[/tex3] e fazer indução:

[tex3]a_{n+1} = a_n + \frac1{a_n} = \frac{a_n^2+1}{a_n} \geq \frac{n+1}{a_n} \geq \frac{n+1}{a_{n+1}} \implies a_{n+1} \geq \sqrt{(n+1)} \implies a_n \geq \sqrt{n}[/tex3] para [tex3]n \geq 1[/tex3].

Então, foi aqui que eu cheguei. [tex3]a_{1996} \geq \sqrt{1996} \geq 44[/tex3]

Precisamos chegar no [tex3]\sqrt{2n}[/tex3] pra chegar no resultado, mas a indução meio que trava quando enfiamos o [tex3]\sqrt2[/tex3]:

[tex3]a_n \geq \sqrt{2n} \implies a_{n+1} =\frac{a_n^2+1}{a_n} \geq \frac{2n+1}{a_n}[/tex3] e agora?

[FelipeMartinMOD]

[tex3]a_{n+1} ^2 = a_n^2 + 2 + \frac{1}{a_n^2} \geq a_n^2+2 \implies a_{n+1}^2 - a_n^2 \geq 2 \implies \\ \implies a^2_{m+1} - a_1^2 \geq 2m \implies a_{m}^2 \geq 2m-2+a_1 ^2 \geq 2m \implies a_n \geq \sqrt{2n} [/tex3]

para [tex3]n \geq 1[/tex3].

Em particular [tex3]a_{1996} \geq \sqrt{2 \cdot 1996} \approx 63.18 > 63[/tex3]