Olimpíadas ⇒ (IMO Training) Probabilidade / Divisores Tópico resolvido

[theblackmamba]

Calcule a probabilidade de que um número escolhido aleatoriamente sendo este positivo e divisor de [tex3]10^{99}[/tex3] seja um número inteiro múltiplo de [tex3]10^{88}[/tex3].

Resposta

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[tex3]\frac{9}{625}[/tex3]

[gabrielbpf]

Olá!

Eu fiquei um pouco em dúvida nessa questão, apesar de ter achado o resultado...

A probabilidade pedida é [tex3]p=\frac{N_{multiplos(10^{88})}}{N_{divisores(10^{99})}}[/tex3], sejam esses múltiplos menores que [tex3]10^{99}[/tex3], logicamente!

[tex3]p=\frac{n}{N_{5^{99}\times2^{99}}}[/tex3]

Sabe-se que [tex3]N_{divisores}=(a+1)(b+1) \longrightarrow N=(99+1)(99+1)=10^4[/tex3]

Do estudo de progressões aritiméticas: [tex3]a_n=a_1+(n-1)r \longrightarrow 10^{99}=10^{88}+(n-1)10^{88} \therefore n=10^{11}[/tex3]

É aí que entre minha dúvida... Eu achava que esse número já era o próprio número de múltiplos entre esses dois números, o que me daria [tex3]p=\frac{10^{11}}{10^4}[/tex3]... Vê-se que é um resultado ilógico...

Eu fiz [tex3]10^{11}=5^{11}\times2^{11} \longrightarrow n=(11+1)(11+1)=144[/tex3]

Então [tex3]p=\frac{144}{10^4}=\frac{9}{625}[/tex3]

Mas continuo a não entender completamente... Se alguém explicar melhor, agradeço!

Abraços!

[FelipeMartinMOD]

aproveitando a resposta acima, temos [tex3]10^4[/tex3] divisores ao todo.

Queremos números da forma [tex3]2^{a} 5^{b} 10^{88}[/tex3] com [tex3]0 \leq a \leq 11, 0 \leq b \leq 11[/tex3]

Temos ao todo [tex3]12^2[/tex3] números assim. Então, a resposta acima está correta: [tex3]p = \frac{144}{10^4}[/tex3]