Olimpíadas ⇒ (Litvinenko) Geometria Plana - Triângulo Inscrito Tópico resolvido

[theblackmamba]

Em um triângulo acutângulo com lados [tex3]a,b,c.[/tex3] Desde o ponto o centro da circunferência circunscrita, se baixam as perpendiculares aos lados. Os comprimentos das perpendiculares são iguais a [tex3]m,n,p,[/tex3] respectivamente. Demonstre que:

[tex3]\frac{m}{a}+\frac{n}{b}+\frac{p}{c}=\frac{mnp}{abc}[/tex3]

Agradeço a atenção.
Abraço.

[jedi]

pensei no seguinte

triangulo.png (5.72 KiB) Exibido 2265 vezes

[tex3]2\alpha+2\beta+2\theta=180^o[/tex3]

[tex3]\tg(2\alpha+2\beta+2\theta)=\tg(180^o)[/tex3]

[tex3]\tg(2\alpha+2\beta+2\theta)=0[/tex3]

[tex3]\tg(2(\alpha+\beta+\theta))=0[/tex3]

[tex3]\frac{\tg(\alpha+\beta+\theta)+\tg(\alpha+\beta+\theta)}{1-\tg(\alpha+\beta+\theta)\cdot \tg(\alpha+\beta+\theta)}=0[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot \tg(\alpha+\beta+\theta)}{1-\tg^2(\alpha+\beta+\theta)}=0[/tex3]

portanto

[tex3]2\cdot \tg(\alpha+\beta+\theta)=0[/tex3]

[tex3]\tg(\alpha+\beta+\theta)=0[/tex3]

[tex3]\frac{\tg(\alpha)+\tg(\beta+\theta)}{1-\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta+\theta)}=0[/tex3]


[tex3]\frac{\tg(\alpha)+\frac{\tg(\beta)+\tg(\theta)}{1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta)}}{1-\tg(\alpha)\cdot \frac{\tg(\beta)+\tg(\theta)}{1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta)}}=0[/tex3]

[tex3]\frac{\tg(\alpha)\cdot \left(1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta)\right)+\tg(\beta)+\tg(\theta)}{(1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta))\left(1-\tg(\alpha)\cdot \frac{\tg(\beta)+\tg(\theta)}{1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta)}\right)}=0[/tex3]

[tex3]\frac{\tg(\alpha)-\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta)\cdot \tg(\theta)+\tg(\beta)+\tg(\theta)}{1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta)-\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta)+\tg(\alpha)\cdot \tg(\theta)}=0[/tex3]

[tex3]\frac{-\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta)\cdot \tg(\theta)+\tg(\alpha)+\tg(\beta)+\tg(\theta)}{1-\tg(\beta)\cdot \tg(\theta)-\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta)+\tg(\alpha)\cdot \tg(\theta)}=0[/tex3]

então

[tex3]-\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta)\cdot \tg(\theta)+\tg(\alpha)+\tg(\beta)+\tg(\theta)=0[/tex3]

[tex3]\tg(\alpha)+\tg(\beta)+\tg(\theta)=\tg(\alpha)\cdot \tg(\beta)\cdot \tg(\theta)[/tex3]

[tex3]\frac{m}{\frac{a}{2}}+\frac{n}{\frac{b}{2}}+\frac{p}{\frac{c}{2}}=\frac{m}{\frac{a}{2}}\cdot \frac{n}{\frac{b}{2}}\cdot \frac{p}{\frac{c}{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{2m}{a}+\frac{2n}{b}+\frac{2p}{c}=\frac{2m}{a}\cdot \frac{2n}{b}\cdot \frac{2p}{c}[/tex3]

[tex3]\frac{m}{a}+\frac{n}{b}+\frac{p}{c}=4\cdot \frac{mnp}{abc}[/tex3]

o resultado não confere não sei se fiz algo de errado, pelo menos não consegui encontrar o meu erro, se você puder conferir

[theblackmamba]

[tex3]\frac{2m}{a}+\frac{2n}{b}+\frac{2p}{c}=\frac{2m}{a}\cdot \frac{2n}{b}\cdot \frac{2p}{c}[/tex3]

[tex3]\frac{m}{a}+\frac{n}{b}+\frac{p}{c}=4\cdot \frac{mnp}{abc}[/tex3]

Olá jedi,

Você errou apenas na simplificação

[tex3]\cancel{2}\cdot \left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}+\frac{p}{c}\right)=\cancel{2}\cdot \left(\frac{m}{a}\cdot \frac{n}{b}\cdot \frac{p}{c}\right)[/tex3]
[tex3]\boxed{\frac{m}{a}+\frac{n}{b}+\frac{p}{c}=\frac{mnp}{abc}}[/tex3]. CQD.

Obrigado e um Abraço.

[jrneliodias]

theblackmamba, é um produto o membro da direita. Ele fez corretamente. Será a edição do livro?

[theblackmamba]

theblackmamba, é um produto o membro da direita. Ele fez corretamente. Será a edição do livro?

Hehe, que besteira que fiz

Consultei novamente e está desse jeito , mas deve estar com erro mesmo!

Abraço.

[jedi]

Amigos, encontrei um erro na minha solução

[tex3]2\alpha+2\beta+2\theta=180^o[/tex3]

[tex3]\alpha+\beta+\theta=90^o[/tex3]

[tex3]\tg (\alpha+\beta+\theta)=\tg (90^o)[/tex3]

[tex3]\tg (\alpha+\beta+\theta)=\infty[/tex3]

na passagem que diz

[tex3]\frac{2\cdot \tg (\alpha+\beta+\theta)}{1-\tg^2(\alpha+\beta+\theta)}=0[/tex3]

eu não posso dizer que [tex3]\tg (\alpha+\beta+\theta)=0[/tex3]

pois no denominador eu tenho algo que tende para o infinito, portanto esta solução não é valida, vou continuar pensando sobre a questão...

[FelipeMartinMOD]

Sabemos que [tex3]m = OM_a = \frac{AH}2[/tex3]

Agora sejam [tex3]H_b[/tex3] e [tex3]H_c[/tex3] os pés das alturas dos vértices [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3].
Sabemos que [tex3]\triangle AH_bH_c \sim \triangle ACB[/tex3] na razão de semelhança de [tex3]\cos(A)[/tex3]. E que [tex3]AH[/tex3] é diâmetro da circunscrita ao [tex3]\triangle AH_bH_c[/tex3] (pois o quadrilátero [tex3]AH_bH_cH[/tex3] é cíclico). Veja então a lei dos senos:

[tex3]\frac{a \cos(A)}{\sen (A)} = AH = 2m \implies m = \frac a2 \cotg(A)[/tex3].

Seu resultado é equivalente:

[tex3]\frac ma + \frac nb + \frac pc = \frac12(\cotg(A) + \cotg(B) + \cotg(C)) = \frac18 \cotg(A) \cotg(B) \cotg(C)[/tex3]

Vejamos se ele é verdadeiro:
[tex3]\cotg(A) +\cotg(B)+\cotg(C) = \frac14 \cotg(A) \cotg(B) \cotg(C)[/tex3]
mas [tex3]C = \pi - A - B[/tex3] [tex3]\tg(\pi-A-B) = -\tg(A+B) = \frac{\tg A+ \tg B }{\tg A \tg B -1}[/tex3]
logo
[tex3]\cotg(C) = \frac{1-\cotg A \cotg B}{\cotg B + \cotg A}[/tex3]
na nossa expressão:
[tex3]\cotg (C) = \frac{4\cotg(A) + 4\cotg(B)}{ \cotg(A) \cotg(B) -4}[/tex3]
não me parecem ser equivalentes. Talvez haja algum erro na digitação do teu problema.
Testemos tua tese para o triângulo [tex3]a=b= c=6[/tex3], [tex3]p=n=m \sqrt 3[/tex3]:
[tex3]3 \cdot \frac{\sqrt3}6 = (\frac{\sqrt3}6)^3 \iff \frac{\sqrt3}2 = \frac{\sqrt3}{72}[/tex3].
Falso, o enunciado está incorreto. Provavelmente faltou um [tex3]4[/tex3] e as expressões eram invertidas.

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia indicar qual seria a melhor resolução dentre as apresentadas?

[edu_landim]

[tex3]\tg(2(\alpha+\beta+\theta))=0[/tex3]

[tex3]\frac{\tg(\alpha+\beta+\theta)+\tg(\alpha+\beta+\theta)}{1-\tg(\alpha+\beta+\theta)\cdot \tg(\alpha+\beta+\theta)}=0[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot \tg(\alpha+\beta+\theta)}{1-\tg^2(\alpha+\beta+\theta)}=0[/tex3]

portanto

[tex3]2\cdot \tg(\alpha+\beta+\theta)=0[/tex3]

[tex3]\tg(\alpha+\beta+\theta)=0[/tex3]

Há um erro na utilização da tangente do arco duplo aqui, pois [tex3]\tg(\alpha+\beta+\theta)[/tex3] não é definida já que [tex3]\alpha+\beta+\theta = 90^{\circ}[/tex3]

Resolução

[tex3]\tg(\hat{A}+\hat{B}) = \tg(180º - \hat{C})[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \tg(\hat{A}+\hat{B}) = -\tg(\hat{C})[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \frac{\tg(\hat{A})+\tg(\hat{B})}{1-\tg(\hat{A})\cdot \tg(\hat{B})} = -\tg(\hat{C})[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \tg(\hat{A})+\tg(\hat{B}) = -\tg(\hat{C}) \cdot (1-\tg(\hat{A})\cdot \tg(\hat{B}))[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \tg(\hat{A})+\tg(\hat{B}) = -\tg(\hat{C}) +\tg(\hat{A})\cdot \tg(\hat{B}) \cdot \tg(\hat{C})[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \tg(\hat{A})+\tg(\hat{B}) + \tg(\hat{C}) = \tg(\hat{A})\cdot \tg(\hat{B}) \cdot \tg(\hat{C})[/tex3]

Perceba que
[tex3]\frac{a \cdot b \cdot c}{m \cdot n \cdot p} = [/tex3]

[tex3]=\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} \cdot \frac{c}{p}[/tex3]

[tex3]= 2\cdot \tg(\hat{A}) \cdot 2\cdot \tg(\hat{B}) \cdot 2\cdot \tg(\hat{C}[/tex3]

[tex3]=8 \cdot \tg(\hat{A}) \cdot \tg(\hat{B}) \cdot \tg(\hat{C})[/tex3]

[tex3]=8 \cdot \Big(\tg(\hat{A}) + \tg(\hat{B}) + \tg(\hat{C})\Big)[/tex3]

[tex3]=8 \cdot \Big(\frac{a}{2m} + \frac{b}{2n} + \frac{c}{2p}\Big)[/tex3]

[tex3]=4 \cdot \Big(\frac{a}{m} + \frac{b}{n} + \frac{c}{p}\Big)[/tex3]


Logo [tex3]\frac{a \cdot b \cdot c}{m \cdot n \cdot p} =4 \cdot \Big(\frac{a}{m} + \frac{b}{n} + \frac{c}{p}\Big)[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

edu_landim, e o que significa [tex3]\frac{\tg(\alpha)}{1-tg^2(\alpha)}[/tex3] em termos de [tex3]m[/tex3] e [tex3]a[/tex3]?