Olimpíadas ⇒ Congruência Tópico resolvido

[theblackmamba]

Prove que o polinômio [tex3](a+b+c)^{3333}-a^{3333}-b^{3333}-c^{3333}[/tex3] é divisível pelo polinômio [tex3](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3.[/tex3]

[lecko]

Olá, creio que esta questão já foi postada antes no fórum.
Tentarei achar o link, mas procure aí também!

[FelipeMartinMOD]

[tex3](a+b+c)^3 = (a+b)^3 +c^3 + 3c(a+b)(c+a+b) = \\ = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)ab + 3c(a+b)(a+b+c) \implies \\ \implies (a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b )ab + 3c(a+b)(a+b+c) = \\ = 3(a+b)(ab+ ca + bc + c^2)= 3(a+b)(b(a+c)+c(a+c)) = 3(a+b)(a+c)(b+c)[/tex3]

Acho que basta verificar que o polinômio original é [tex3]0[/tex3] quando [tex3]a=-b, a= -c, b = -c[/tex3].

De fato: [tex3]a= -b \implies (a+b+c)^{3333} - a^{3333} - b^{3333} -c^{3333} = c^{3333}-c^{3333} = 0[/tex3]
analogamente, temos que [tex3](a+b)(b+c)(a+c)[/tex3] "são raízes" do polinômio de grau grande (podemos pensar nele como um polinômio de uma só variável [tex3]a[/tex3] com raíz [tex3]-b[/tex3]), logo, ele é divisível por [tex3]\frac{(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3}3[/tex3] e então é divisível por [tex3](a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3[/tex3]