Olimpíadas ⇒ Prova sobre números racionais. Tópico resolvido

[alika]

Sejam a e b números reais cuja soma é igual a 1. Prove que se a³ e b³ são racionais, então a e b são racionais.

[ProfLaplace]

Hipóteses: [tex3]a+b=1,[/tex3] [tex3]a^3\in\mathbb{Q}[/tex3] e [tex3]b^3\in\mathbb{Q}.[/tex3]
Sabemos que [tex3](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b).[/tex3]
Como [tex3]a+b=1,[/tex3] obtemos [tex3]a^3+b^3=1-3ab.[/tex3]
Logo [tex3]ab=\frac{1-(a^3+b^3)}{3}.[/tex3]
Temos que [tex3]ab\in\mathbb{Q},[/tex3] já que [tex3]a^3\in\mathbb{Q}[/tex3] e [tex3]b^3\in\mathbb{Q}.[/tex3]

Agora vamos analisar a expressão [tex3]a^2+ab+b^2[/tex3] (vc vai entender o motivo daqui a pouco).
[tex3]a^2+ab+b^2=a^2+2ab+b^2-ab=(a+b)^2-ab=1-ab.[/tex3]
Assim [tex3]a^2+ab+b^2\in\mathbb{Q},[/tex3] uma vez que [tex3]ab\in\mathbb{Q}.[/tex3]
Vamos mostrar também que [tex3]a^2+ab+b^2=1-ab[/tex3] não é nulo.
Suponha por absurdo que essa expressão seja nula. Então teríamos [tex3]ab=1.[/tex3]
Aliado com o fato de que [tex3]a+b=1,[/tex3] segue que estes dois números tem soma [tex3]1[/tex3] e produto [tex3]1[/tex3].
Logo, por soma e produto, eles seriam solução da equação [tex3]x^2-1x+1=0.[/tex3]
Mas dessa equação temos [tex3]\Delta=1-4=-3<0,[/tex3] o que indicaria que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] não são reais.
Porém isso contradiz nossa hipótese inicial de que estes números são reais.
Disso concluímos que [tex3]a^2+ab+b^2=1-ab\neq0.[/tex3]

Vamos usar agora a seguinte identidade: [tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).[/tex3]
Como [tex3]a^2+ab+b^2\neq0,[/tex3] temos que
[tex3]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}.[/tex3]
Mas [tex3]a^3-b^3\in\mathbb{Q}[/tex3] e também [tex3]a^2+ab+b^2\in\mathbb{Q}.[/tex3]
Dessa forma, segue-se que [tex3]a-b\in\mathbb{Q}.[/tex3]

Para finalizar, temos que [tex3]a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=\frac{1+(a-b)}{2}.[/tex3]
Como [tex3]a-b\in\mathbb{Q},[/tex3] temos [tex3]a\in\mathbb{Q}.[/tex3]
Da hipótese inicial [tex3]a+b=1,[/tex3] temos também [tex3]b\in\mathbb{Q},[/tex3] uma vez que [tex3]b=1-a.[/tex3]
Conclusão: [tex3]a,b\in\mathbb{Q}.[/tex3]