Olimpíadas ⇒ (EUA 1992) Soma de inversos de cossenos. Tópico resolvido

[alika]

Prove que:
[tex3]\frac{1}{\cos 0^{\circ}\cos 1^{\circ}}+\frac{1}{\cos 1^{\circ}\cos 2^{\circ}}+...+\frac{1}{\cos 88^{\circ}\cos 89^{\circ}}=\frac{\cos 1^{\circ}}{\sen^21^{\circ}}[/tex3]

[alika]

Transformando os cossenos para senos:
[tex3]S=\frac{1}{\sen 1^{\circ}\sen 2^{\circ}}+\frac{1}{\sen 2^{\circ}\sen 3^{\circ}}+...+\frac{1}{\sen 89^{\circ}\sen 90^{\circ}}
[/tex3]

[tex3]S\cdot \sen 1^{\circ}=\frac{\sen 1^{\circ}}{\sen 1^{\circ}\sen 2^{\circ}}+\frac{\sen 1^{\circ}}{\sen 2^{\circ}\sen 3^{\circ}}+...+\frac{\sen 1^{\circ}}{\sen 89^{\circ}\sen 90^{\circ}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sen 1^{\circ}}{\sen 1^{\circ} \sen 2^{\circ}}=\frac{\sen (2-1)^{\circ}}{\sen 1^{\circ}\sen 2^{\circ}}=\frac{\cos 1^{\circ}}{\sen 1^{\circ}}-\frac{\cos 2^{\circ}}{\sen 2^{\circ}}[/tex3]

Analogamente:
[tex3]\frac{\sen 1^{\circ}}{\sen 2^{\circ} \sen 3^{\circ}}=\frac{\cos 2^{\circ}}{\sen 2^{\circ}}-\frac{\cos 3^{\circ}}{\sen 3^{\circ}}[/tex3]

...

[tex3]\frac{\sen 1^{\circ}}{\sen 89^{\circ} \sen 90^{\circ}}=\frac{\cos 89^{\circ}}{\sen 89^{\circ}}-\frac{\cos 90^{\circ}}{\sen 90^{\circ}}[/tex3]

[tex3]\therefore S\cdot \sen 1^{\circ}= \frac{\cos 1^{\circ}}{\sen 1^{\circ}}-\frac{\cos 90^{\circ}}{\sen 90^{\circ}}\to S=\frac{\cos 1^{\circ}}{\sen^2(1^{\circ})}[/tex3]

Postei a solução, já que não achei nada na internet, e é uma boa questão...