Olimpíadas ⇒ (AHSME 1996), G.Analítica Tópico resolvido

[Beastie]

No plano [tex3]xy[/tex3], qual é o comprimento do menor caminho de [tex3](0,0)[/tex3] para [tex3](12,16)[/tex3] que não entra no círculo [tex3](x-6)^2+(y-8)^2=25[/tex3] ?

[poti]

Eu tô me matando com esse exercício cara. O menor caminho na verdade seria formado por duas retas e um semi-arco que fica sobreposto sobre a circunferência. Fica igual na figura anexada. Eu descobri que a primeira reta que tangencia a circunferência mede [tex3]\sqrt{75}[/tex3] (por Pitágoras, só formar um triângulo tendo essa reta como hipotenusa) e que a segunda reta vale [tex3]\sqrt{65}[/tex3] (pelo mesmo método). Mas não estou conseguindo achar o valor do arco compreendido, pois não descobri o ângulo ainda. Se alguém tentar e conseguir posta o resultado, por favor.

[hygorvv]

No plano [tex3]xy[/tex3], qual é o comprimento do menor caminho de [tex3](0,0)[/tex3] para [tex3](12,16)[/tex3] que não entra no círculo [tex3](x-6)^2+(y-8)^2=25[/tex3] ?

chamando a reta r que contem os pontos [tex3](0,0)[/tex3] e [tex3](12,16)[/tex3]
a equação da reta r é dada por
[tex3]y=mx[/tex3]
onde [tex3]m=\frac{16}{12} \to m=\frac{4}{3} \leftrightarrow[/tex3]
[tex3]y=\frac{4}{3}x[/tex3]

encontrando os pontos da reta que cortam a circunferência
[tex3](x-6)^2+\(\frac{4}{3}x-8\)^2=25[/tex3]
[tex3]x^{2}-12x+36+\frac{16x^{2}}{9}-\frac{64x}{3}+64=25[/tex3]
[tex3]9x^{2}-108x+324+16x^{2}-192x+576=225[/tex3]
[tex3]25x^{2}-300x+675=0[/tex3]
[tex3]\Delta=22500[/tex3]
[tex3]x'=9[/tex3]
[tex3]x''=3[/tex3]

logo
[tex3]y'=12[/tex3]
[tex3]y''=4[/tex3]
pegaremos o primeiro ponto de encontro, ou seja [tex3](3;4)[/tex3]
distancia da origem ao ponto [tex3](3;4)[/tex3]
chamando esse ponto de [tex3]P[/tex3]
[tex3]dOP=\sqrt(3^{2}+4^{2})[/tex3]
[tex3]dOP=5u\cdot c[/tex3]

chamando o ponto [tex3](9;12)[/tex3] de [tex3]U[/tex3]
e o ponto [tex3](12;16)[/tex3] de [tex3]T[/tex3]
demos
[tex3]dUT=\sqrt((9-12)^{2}+(12-16)^{2})[/tex3]
[tex3]dUT=5u\cdot c[/tex3]

agora devemos descobrir o comprimento do arco compreendido entre os pontos [tex3]P(3;4)[/tex3] e o ponto [tex3]U(9;12)[/tex3] (que sao extremos do diâmetro da circunferência como provaremos abaixo)
agora note que
[tex3]dPU=\sqrt(6^{2}+8^{2})=10u\cdot c[/tex3]
pela lei dos cossenos, temos
[tex3]10^{2}=5^{2}+5^{2}-2.5.5\cdot \cos \alpha[/tex3]
[tex3]100=50-50\cos \alpha[/tex3]
[tex3]\cos \alpha=-1 \to \alpha=\pi[/tex3]
logo
[tex3]C=\alpha \cdot R[/tex3]
[tex3]C=5 \pi[/tex3]

o menor caminho seria a soma [tex3]dOP+arco{PU}+dUT[/tex3]
que daria [tex3]5(2+\pi)[/tex3]

espero que seja isso

[Auto Excluído (ID:276)]

Olá

A (6,8) , C (0,0) e D (12,16)

É fácil provar que o menor caminho é a soma dos segmentos CE, DF e o arco menor EF. Só usar relações através de triângulos retângulos.

Calculamos CD através de pitágoras : [tex3]\overline{CD} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20[/tex3]

Calculando [tex3]\overline{CA}[/tex3] :

[tex3]\overline{CA} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10[/tex3]

Portanto a parte externa da secante com origem em C mede [tex3]10-5=5[/tex3]

Com isso, percebe-se que a parte externa da secante com origem em D também mede [tex3]20-5-10=5[/tex3]

Portanto, [tex3]\overline{CE} = \overline{DF}[/tex3] , por congruência de triângulos

Observa-se também que [tex3]\angle{ACE}[/tex3] é notável, pois [tex3]sen \angle{ACE} = \frac{5}{10} = sen 30[/tex3] [tex3]\therefore \angle{ACE} = 30[/tex3]

Logo, [tex3]\angle{CAE} = 90-30=60[/tex3] [tex3]\therefore \angle{EAF} = 180-60-60=60[/tex3]

Portanto, devemos calcular o arco de setor circular de 60º .

A distância mínima então é :

[tex3]2. \sqrt{10^2 - 5^2} + \frac{2.\pi.5}{6} = 10\sqrt{3} + \frac{5.\pi}{3}[/tex3]

Po, o meu resultado deu diferente. Depois eu verei se errei em alguma coisa. Abraço!