Olimpíadas ⇒ (Alemanha - 2000) Aritmética Tópico resolvido

[cicero444]

Determine os números reais x tais que:
|||||||x^2 – x -1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|= x^2 – 2x – 48.

[jrneliodias]

Olá, Cicero.

Se você olhar para [tex3]x^2-x-1[/tex3], verá que ele é sempre positivo para qualquer x pertencentes aos reais. Então podemos tirar seus módulos. Mas também, após isso, apenas aumentará o valor do termo independente. Veja:
[tex3]\Delta\geq0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,b^2\geq4ac[/tex3]

E isso nunca acontece, então no momento final, teremos a seguinte equação:
[tex3]x^2-x-(1+3+5+7+11+13)=x^2-2x-48\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x^2-x-42=x^2-2x-48[/tex3]

[tex3]\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{x=-6}[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{S}=\{-6\}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[cicero444]

Observe a soluçao e veja se e possivel se uma resposta para esse problema:
Observa-se que o primeiro membro da equação é sempre positivo, mas o segundo membro só é positivo se x≥8 ou x≤-6. Então, as soluções, se existirem, devem obedecer a essas desigualdades.
Se x≥8, x^2- x ≥56 e, observando que -1-3-5-7-9-11-13=-49, vê-se que o primeiro membro é positivo mesmo sem os sinais de valor absoluto. Portanto, a equação dada se reduz a x^2-x-49=x^2- 2x- 48 que não tem solução para x≥8.
quação x^2 – x – 49 = x^2 – 2x - 48 não tem solução para x≤-6 .
Se x≤-6, x^2 -x -42 e a equação dada se reduz a |x^2 –x – 49| = x^2 – 2x – 48, isto é, x^2 – x - 49 =
=± (x^2 – 2x – 48).
A equação x^2 – x – 49 = x^2 – 2x - 48 não tem solução para x≤-6 .
A equação x^2 – x -49 = - ( x^2 – 2x -48) , equivalente a 2x^2 – 3x – 97 = 0, tem uma solução λ tal que – 7 < λ < 6. Essa é a única solução da equação dada inicialmente.

[jrneliodias]

Olá, Cicero.

Na verdade, nos dois erramos.

[tex3]\small|||||||x^2-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|=x^2-2x-48\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,x\leq-6\,\,\,ou\,\,\,x\geq8[/tex3]

[tex3]\small|||||||x^2-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13|=x^2-2x-48\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,[/tex3]

[tex3]\small||||||x^2-x-1|-3|-5|-7|-9|-11|-13=\pm(x^2-2x-48)[/tex3]


Deu pra entender o braço?

[cicero444]

Resolva só para consegue ver a equação.