Olimpíadas ⇒ Soma das Frações Tópico resolvido

[rean]

Calcule a soma a + b + c, se [tex3]\frac {b}c\times{a}=\frac{1}{3} +\frac{13}{15} + \frac{33}{35} + \frac{61}{63}+..+\frac{397}{399}[/tex3]

Resposta

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a+b+c=9+1+21=31

[RafaeldeLima]

Oi rean,

note que [tex3]\frac {b}c\times{a}=\frac{1}{3} +\frac{13}{15} + \frac{33}{35} + \frac{61}{63}+..+\frac{397}{399} = \frac{(1.3) - 2}{1.3} +\frac{(3.5) - 2}{3.5} +\frac{(5.7) - 2}{5.7} + ... + \frac{(19.21) - 2}{19.21}[/tex3]

Portanto [tex3]\frac {b}c\times{a}= (\frac{1.3}{1.3} - \frac{2}{1.3})+(\frac{3.5}{3.5} - \frac{2}{3.5})+ ... + (\frac{19.21}{19.21} - \frac{2}{19.21})[/tex3]

E então : [tex3]\frac {b}c\times{a}= 1 - \frac{2}{1.3}+ 1 - \frac{2}{3.5}+1 - \frac{2}{5.7}+1 - \frac{2}{7.9}+...+1 - \frac{2}{19.21}[/tex3]

[tex3]\frac {b}c\times{a}= 10 -2.[\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}) +\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}) +\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) +...+\frac{1}{2}(\frac{1}{19}-\frac{1}{21})][/tex3]

Simplificando tem-se : [tex3]\frac {b}c\times{a}= 10 -\frac{2}{2}.(1-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}-\frac{1}{5} +\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{21})[/tex3]

Finalmente : [tex3]\frac {b}c\times{a}= 10 -(1-\frac{1}{21}) = 9+\frac{1}{21}[/tex3]

Aqui existe uma inconsistência com o resultado sugerido acima. O resultado que eu encontrei é [tex3]\frac {b}c\times{a} = 9 + \frac{1}{21} = \frac{9.21 + 1}{21} = \frac{189 + 1}{21} = \frac{190}{21} = \frac{19.10}{21}[/tex3], ou seja :

[tex3]a=19\\b=10\\c=21[/tex3], e portanto [tex3]a+b+c = 50[/tex3]

Desculpe se eu não entendi direito o problema, mas pelos meus cálculos deu isso.

[Radius]

Olá a todos.

Veja que a soma pode ser escrita como:

[tex3]\sum_{n=1}^{10} \frac{(2n-1)(2n+1)-2}{(2n-1)(2n+1)}[/tex3]

[tex3]=\sum_{n=1}^{10} \frac{4n^2-3}{4n^2-1}=\sum_{n=1}^{10} \left(1-\frac{2}{4n^2-1}\right)[/tex3]

[tex3]=\sum_{n=1}^{10}\left[ 1-\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) \right][/tex3]

[tex3]=10-\left[ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{21}\right) \right][/tex3]

[tex3]=10-\left(1-\frac{1}{21}\right)=10-\frac{20}{21}=\frac{190}{21}=\boxed{\boxed{9\frac{1}{21}}}[/tex3]

[RafaeldeLima]

Olá Radius,

Não entendi como pode ser verdadeira a igualdade [tex3]\frac{190}{21}={{9\frac{1}{21}}}[/tex3]

[Radius]

Veja que eu não escrevi [tex3]{9\times \frac{1}{21}}[/tex3]. O rean deve ter errado no enunciado.

Mas é verdade que [tex3]\frac{190}{21}={{9\frac{1}{21}}}[/tex3]. Lê-se "nove inteiros e vinte e um avos"

É uma forma compacta de escrever [tex3]{9+\frac{1}{21}}[/tex3]

[RafaeldeLima]

Agora sim !

Vivendo e aprendendo, haha, eu nao sabia que podia ser escrito dessa maneira

Obrigado Radius mais uma coisa nova que eu aprendo aqui no fórum !

No fim as soluções tem o mesmo resultado.