Olimpíadas ⇒ (Inglaterra) Equação Tópico resolvido

[Juniorsjc]

Se a e b são números inteiros e positivos que satisfazem a equação :
[tex3]\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - 1\)^2 = 49 + 20\sqrt[3]{6}[/tex3]

Calcule [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].

Resposta

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a=48 e b =288

[Dick]

[tex3]\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1\)^2=49+20\sqrt[3]{6}[/tex3]

Fazendo: [tex3]a = 6x^{3}; b = 36y^{3}[/tex3] (1)

Do produto notável: [tex3](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz[/tex3]

[tex3]\(\sqrt[3]{6x^3}+\sqrt[3]{36y^3}-1\)^2=\(x\sqrt[3]{6}+y\sqrt[3]{36}-1\)^2[/tex3]

[tex3]\(x\sqrt[3]{6}+y\sqrt[3]{36}-1\)^2=x^2\sqrt[3]{36}+6y^2\sqrt[3]{6}+1+12xy-2x\sqrt[3]{6}-2y\sqrt[3]{36}=49+20\sqrt[3]{6}[/tex3]

Por comparação, temos:

[tex3]12xy + 1 = 49 \rightarrow 12xy = 48 \rightarrow xy = 4[/tex3] (2)

[tex3]6y^2\sqrt[3]{6} - 2x\sqrt[3]{6} = 20\sqrt[3]{6} \rightarrow 3y^2 - x = 10[/tex3]

[tex3]x^2\sqrt[3]{36} - 2y\sqrt[3]{36} = 0 \rightarrow x^2 - 2y = 0 \rightarrow x^2 = 2y[/tex3] (3)

Da equação (2): [tex3]xy = 4 \rightarrow y=\frac{4}{x}[/tex3]

Substituindo em (3): [tex3]x^2=2y \rightarrow x^2=2\frac{4}{x} \rightarrow x^3=8 \rightarrow x=2[/tex3]

Portanto: y=[tex3]\frac{4}{x} \rightarrow y=2[/tex3]

Substituindo em (1):

[tex3]a=6x^3 \rightarrow a=6.8 \rightarrow a=48[/tex3]

[tex3]b=36y^3 \rightarrow b=36.8 \rightarrow b=288[/tex3]

Resp: [tex3]a=48; b=288[/tex3]

[Thadeu]

Apesar do tempo de resolução, gostaria de saber o qual a base usada para fazer [tex3]a=6x^3[/tex3] e [tex3]b=36y^3[/tex3]?

[Babi123]

Não consegui entender o prq da substituição [tex3]a=6x^3[/tex3] e [tex3]b=36y^3[/tex3]. Alguém pode me ajudar explicando sobre esta substituição?

[undefinied3]

Porque temos [tex3]\sqrt[3]{6}[/tex3] do outro lado, então depois poderemos igualar parte racional com racional e irracional com irracional. O 36 é pra mesma coisa. Foi uma ideia ótima do cara que mata a questão rapidamente, ou seja, é o tipo de coisa que se adquire na prática. Não dá pra dizer exatamente porquê justamente essa ideia, é simplesmente uma boa ideia.