Olimpíadas ⇒ (Cone Sul - 2003) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[edu_vrb]

(XIV Cone Sul) No triângulo acutângulo ABC, os pontos H, G e M encontram-se sobre o lado BC, de modo que AH, AG e AM são altura, bissetriz e mediana do triângulo, respectivamente. Sabe-se que HG = GM, AB = 10 e AC = 14. Determinar a área do triângulo ABC.

[cajuADMIN]

Olá edu_vrb,

Começamos fazendo o desenho da situação:

2_triangulo_2.jpg (10.34 KiB) Exibido 246 vezes

Note que utilizei algumas nomenclaturas para os dados. A altura é "h", a bissetriz é "m", a mediana é "M", o lado BC tem comprimento "a" e os ângulos [tex3]B\hat{A}G=G\hat{A}C=\alpha[/tex3]

Começaremos calculando o comprimento "a".

Note que o lado BG mede [tex3]\frac{a}{2}-x[/tex3]
Aplicamos a lei dos senos no triângulo BAG:

(1) [tex3]\frac{\frac{a}{2}-x}{\sin\alpha}=\frac{10}{\sin(A\hat{G}B)}[/tex3]

E aplicamos a lei dos senos no triângulo AGC.

[tex3]\frac{14}{\sin(180^{\circ}-A\hat{G}B)}=\frac{\frac{a}{2}+x}{\sin\alpha}[/tex3]

Sabendo que [tex3]\sin(\theta)=\sin(180^{\circ}-\theta)[/tex3], podemos rescrever a equação acima como sendo:

(2) [tex3]\frac{14}{\sin(A\hat{G}B)}=\frac{\frac{a}{2}+x}{\sin\alpha}[/tex3]

Multiplicando a equação (1) pela (2) e efetuando as simplificações, temos:

[tex3]7a-14x=5a+10x[/tex3]


(3) [tex3]a=12x[/tex3]

Aplicamos o Teorema de Stewart para descobrir o comprimento de M:

[tex3]M=\sqrt{\frac{2\cdot 10^2+2\cdot 14^2-a^2}{4}}[/tex3]

Substituindo [tex3]a=12x[/tex3] e efetuando as simplificações:

(4) [tex3]M=\sqrt{148-36x^2}[/tex3]

Sabemos que M é o ponto médio de BC, ou seja, o comprimento BM vale 6x (pois BC = 12x). Como HM=2x, temos que BH=4x. Aplicando Pitágoras no triângulo ABH:

[tex3]10^2=h^2+(4x)^2[/tex3]

(5) [tex3]h^2=100-16x^2[/tex3]

Aplicamos Pitágoras no triângulo AHM:

(6) [tex3]M^2=(2x)^2+h^2[/tex3]

Substituímos (5) em (6) e isolamos M.

(7)[tex3]M=\sqrt{100-12x^2}[/tex3]

Agora podemos igualar (4) e (7).

[tex3]\sqrt{148-36x^2}=\sqrt{100-12x^2}[/tex3]

Elevando ao quadrado e resolvendo, chegamos em:

[tex3]x=\sqrt 2[/tex3]

Sabendo o valor de x podemos agora descobrir o valor de "a" e "h" através das equações (3) e (5):

[tex3]a=12\sqrt 2[/tex3]

[tex3]h=\sqrt{100-16\cdot(\sqrt 2)^2}[/tex3]

[tex3]h=2\sqrt{17}[/tex3]

E a área é "a" multiplicado por h e dividido por 2:

[tex3]Area=\frac{12\sqrt 2\cdot 2\sqrt{17}}{2}[/tex3]

[tex3]Area= 12\sqrt{34}[/tex3]