Demonstrações ⇒ Relação do Circuncentro e o Ortocentro Tópico resolvido

[petrasMOD]

A distância do ortocentro a um vértice de um triângulo é o dobro da distância do circuncentro ao lado oposto a esse vértice.

Seja o triângulo ABC
H = Ortocentro
O = Circuncentro
K: ponto médio de AB
T: ponto médido de HA
M: ponto médio de HC

[petrasMOD]

Queremos demonstrar que BH = 2OP

[tex3]OK \perp AB\\
OP \perp AC\\
BH \perp AC\\
AK = KB \wedge AP = PC \implies \triangle ABC: KP_{(basemedia}) = \frac{AB}{2}\\
BT = TH \wedge HM = MC \implies \triangle BHC: MN_{(basemedia)} = \frac{BC}{2}\\
OK \parallel CH: OP \parallel BH:TM \parallel BC \implies \triangle KPO \sim \triangle MTH\\
Mas~KP = TM = \frac{BC}{2} \therefore \triangle KPO \cong \triangle MTH\\
\therefore OP = HT: HT = BT \implies BH = BT + HT = 2HT\\
\therefore \boxed{BH = 2OP} c.q.d.


[/tex3]

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[DaviLeo17]

Sua demonstração tem alguns problemas:
I) OK||CH não foi justificado
II) ∆KPO~∆MTH-->KP=TM (triângulos congruentes), isso é falso em geral

[DaviLeo17]

@DaviLeo17, [tex3]OK \perp AB[/tex3], pois O está na mediatriz de [tex3]AB[/tex3] (prova); como é trivial que [tex3]CH \perp AB[/tex3], então, [tex3]CH \parallel OK[/tex3].

II) Na verdade, a congruência é sempre verdadeira por ALA.

[DaviLeo17]

@DaviLeo17,
Veja que OK é perpendicular a AB(distãnca ao lado oposto a esse vértice.) e como H é ortocentro CH faz parte da altura que também é perpendiular a AB. Assim OK é paralelo a CH
Pela propriedade de Euler BH = 2OP assm DH = OP. Analogamente OK = HM
Traçando a paralela GK a CE teremos [tex3]\triangle POG \sim \triangle HFC \implies \angle KOP \cong \angle EHF\\
\therefore \triangle KOP \sim \triangle MHD(L.A.L) [/tex3]