Demonstrações ⇒ Lema de Arquimedes - Demonstração

[FelipeMartinMOD]

Seja [tex3]\gamma[/tex3] um semicírculo de diâmetro [tex3]AB[/tex3]. Seja [tex3]C[/tex3] um ponto na tangente a [tex3]\gamma[/tex3] por [tex3]B[/tex3], seja [tex3]CD[/tex3] tangente a [tex3]\gamma[/tex3] por [tex3]C[/tex3], com [tex3]D \in \gamma[/tex3], seja [tex3]E[/tex3] o pé da altura de [tex3]D[/tex3] em relação a [tex3]AB[/tex3] e [tex3]F = AC \cap DE[/tex3]. Então [tex3]F[/tex3] bissecta o segmento [tex3]DE[/tex3] ([tex3]EF=FD[/tex3]).

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Prova:

Por construção, [tex3]AC[/tex3] é simediana do [tex3]\triangle ADB[/tex3] (simediana é o conjugado isogonal da mediana - a prova que [tex3]C[/tex3] é simediana está na página 3 deste pdf sensacional). Como [tex3]\angle AED = \angle ADB = 90^{\circ}[/tex3] e [tex3]\angle ADE = \angle ABD[/tex3], então [tex3]\triangle ADE \sim \triangle ABD[/tex3], donde a reta [tex3]AF[/tex3] se torna mediana do [tex3]\triangle ADE[/tex3] (porque é como se os ângulos da base [tex3]BD[/tex3] trocassem de lugar, a mediana de [tex3]BD[/tex3] vira simediana de [tex3]DE[/tex3]); logo, [tex3]DF=FE \,\, _\square[/tex3].