Ensino Médio ⇒ Produto dos Divisores de um Inteiro Tópico resolvido

[danjr5]

O produto de todos os divisores inteiros de [tex3]144[/tex3] é:

a) [tex3]{-}2^{30}\cdot 3^{15}[/tex3]
b) [tex3]2^{30}\cdot 3^{15}[/tex3]
c) [tex3]{-}2^{60}\cdot 3^{30}[/tex3]
d) [tex3]2^{60}\cdot 3^{30}[/tex3]
e) [tex3]{-}6^{30}[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá danjr5,

Fatorando o 144 temos [tex3]2^4 \cdot 3 ^2[/tex3]. Ou seja, a quantidade de divisores POSITIVOS de 144 é [tex3](4+1) \cdot (2+1) =15[/tex3]. Portanto, os divisores positivos mais os negativos são um total de [tex3]30[/tex3].

Uma possível solução seria listar os quinze divisores POSITIVOS e efetuar a multiplicação entre eles e achar o resultado (não me parece muito trabalhoso), considerar que teremos os mesmos deles NEGATIVOS (sendo [tex3]15[/tex3] fatores negativos, a resposta será negativa). Mas vamos fazer a maneira mais rápida.

Vamos pensar só nos positivos primeiramente.

Os divisores de [tex3]144[/tex3] serão da forma [tex3]2^x \cdot 3^y[/tex3] onde [tex3]x[/tex3] pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4 e [tex3]y[/tex3] pode ser 0, 1 ou 2.

Ou seja, fixando [tex3]x[/tex3] como sendo 0 teremos três possibilidades para [tex3]y[/tex3], portanto, temos três divisores com [tex3]x=0[/tex3].
Para [tex3]x=1[/tex3] também temos três possibilidades para [tex3]y[/tex3], e assim para todos os [tex3]x[/tex3].

Ao multiplicar todos os divisores, todos os expoentes dos fatores 2 irão se somar. Assim teremos, no expoente do fator 2 do resultado da multiplicação:

[tex3]0+0+0+1+1+1+2+2+2+ ... + 4+4+4[/tex3]

Ou seja

[tex3]0+3+6+9+12 = 30[/tex3]. Então o fator 2 terá expoente 30 no resultado da multiplicação.

Com o mesmo raciocínio para o 3, vemos que para cada y que escolhermos para o 3 teremos cinco possibilidades para o [tex3]x[/tex3]. Assim, o expoente do 3 no resultado da multiplicação será:

[tex3]0+0+0+0+0+1+1+1+1+1+2+2+2+2+2 = 15[/tex3]

Como temos os mesmos fatores com sinal negativo, e a quantidade de fatores negativos é ímpar (15), o resultado é negativo.

Resposta final letra "C"

Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br

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[tex3]144 = 2^43^2\rightarrow d(n)=5.3=15 \text{ onde d(n) é o número de divisores positivos de n}\\
P(n)=\pm n^{d(n)}\\
\text{por ter 15 divisores negativos, o produto é negativo}\\
P(144)=-144^{15}=-2^{60}3^{30}[/tex3]