Ensino Médio ⇒ (FME) Identidade Trigonométrica Tópico resolvido

[MatheusBorgesMOD]

C.108 Prove:

[tex3]\left(\cotg x - \cos x\right)^{2}+\left(1-\sen x\right)^{2}=(1-\cossec x)^{2}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

[tex3]\left(\cotg x - \cos x\right)^{2}+\left(1-\sen x\right)^{2}=(1-\cossec x)^{2}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{cosx}{senx} - \cos x\right)^{2}+\left(1-\sen x\right)^{2}=(1-\frac{1}{senx})^{2}[/tex3]
[tex3]cos^2x \cdot \left(\frac{1}{senx} - 1\right)^{2}+\left(1-\sen x\right)^{2}=(1-\frac{1}{senx})^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{cos^2x}{sen^2x} \cdot \left(1 - senx\right)^{2}+\left(1-\sen x\right)^{2}=\frac{1}{sen^2x}\cdot (senx-1)^{2}[/tex3]

Para [tex3]senx \neq 1[/tex3]

[tex3]\frac{cos^2x}{sen^2x} +1=\frac{1}{sen^2x}[/tex3]
[tex3]\cos^2x +sen^2x=1[/tex3]

Para [tex3]senx = 1[/tex3]

[tex3]\frac{cos^2x}{sen^2x} \cdot \left(1 - senx\right)^{2}+\left(1-\sen x\right)^{2}=\frac{1}{sen^2x}\cdot (senx-1)^{2}[/tex3]
[tex3]0=0[/tex3]

[jomatlove]

Resolução:
1° membro=[tex3](cotgx-cox)^{2}+(1-senx)^{2}[/tex3]
[tex3]cotg^{2}x-2.cotgx.cosx+cos^{2}x+1-2senx+sen^{2}x[/tex3] \ nota: ([tex3]sen^{2}x+cos^{2}x=1[/tex3])
[tex3]\underline{cotg^{2}x}-2.\frac{cosx}{senx}.cosx-2senx+2[/tex3]
[tex3]\underline{cossec^{2}x-1}-2cossecx.cos^{2}x-2senx+2[/tex3]
[tex3]cossec^{2}x-2cossecx(1-sen^{2}x)-2senx+1[/tex3]
[tex3]cossec^{2}x-2cossecx+\cancel{2senx}-\cancel{2senx}+1[/tex3]
[tex3]cossec^{2}x-2cossex+1=(cossecx-1)^{2}=(1-cossecx)^{2}[/tex3]=2º membro